2020-2021中考数学压轴题专题复习—圆与相似的综合附详细答案

?【答案】发现： 90°，102； 思考：（1） 到折痕PQ的距离为30. 【解析】

10?；（2）25π?1002+100；（3）点O3分析：发现：先判断出当PQ取最大时，点Q与点A重合，点P与点B重合，即可得出结论；

思考：（1）先判断出∠POQ=60°，最后用弧长用弧长公式即可得出结论；

（2）先在Rt△B'OP中，OP2+(102?10)2=（10-OP）2，解得OP=102?10，最后用面积的和差即可得出结论．

探究：先找点O关于PQ的对称点O′，连接OO′、O′B、O′C、O′P，证明四边形OCO′B是矩形，由勾股定理求O′B，从而求出OO′的长，则OM=

1OO′=30． 2详解：发现：∵P是半径OB上一动点，Q是?AB上的一动点， ∴当PQ取最大时，点Q与点A重合，点P与点B重合， 此时，∠POQ=90°，PQ=OA2?OB2=102； 思考：（1）如图，连接OQ，

∵点P是OB的中点，

11OB=OQ． 22∵QP⊥OB， ∴∠OPQ=90°

∴OP=

OP1?， 在Rt△OPQ中，cos∠QOP=

OQ2∴∠QOP=60°， ∴lBQ=

60??1010??； 1803（2）由折叠的性质可得，BP＝B′P，AB′＝AB＝102， 在Rt△B'OP中，OP2+(102?10)2=（10-OP）2

解得OP=102?10，

90??1021S阴影=S扇形AOB-2S△AOP=?2??10?(102?10)

3602＝25π?1002+100；

探究：如图2，找点O关于PQ的对称点O′，连接OO′、O′B、O′C、O′P，

?则OM=O′M，OO′⊥PQ，O′P=OP=3，点O′是B?Q所在圆的圆心，

∴O′C=OB=10，

∵折叠后的弧QB′恰好与半径OA相切于C点， ∴O′C⊥AO， ∴O′C∥OB，

∴四边形OCO′B是矩形，

在Rt△O′BP中，O′B=62?42?25， 在Rt△OBO′K，OO′=102?(25)2=230， ∴OM=

11OO′=×230=30， 22即O到折痕PQ的距离为30．

点睛：本题考查了折叠问题和圆的切线的性质、矩形的性质和判定，熟练掌握弧长公式l=

n?R（n为圆心角度数，R为圆半径），明确过圆的切线垂直于过切点的半径，这是常180考的性质；对称点的连线被对称轴垂直平分．

11．如图，CD为⊙O的直径，点B在⊙O上，连接BC、BD，过点B的切线AE与CD的延长线交于点A，∠AEO?∠C，OE交BC于点F. （1）求证：OE∥BD；

（2）当⊙O的半径为5，sin?DBA?2时，求EF的长. 5

【答案】（1）证明见解析；（2）EF的长为【解析】

21 2试题分析：（1）连接OB，利用已知条件和切线的性质证明； （2）根据锐角三角函数和相似三角形的性质，直接求解即可.

试题解析：（1）连接OB， ∵CD为⊙O的直径 ， ? ?CBD??CBO??OBD?90?. ∵AE是⊙O的切线，? ?ABO??ABD??OBD?90?. ? ?ABD??CBO. ∵OB、OC是⊙O的半径，?OB=OC. ∴?C??CBO. ∴?C??ABD. ∵?E??C，∴?E??ABD. ∴ OE∥BD. （2）由（1）可得sin∠C= ∠DBA=

2BD2?,OC=5， ，在Rt△OBE中, sin∠C =

5CD5BD?4∴?CBD??EBO?90?

∵?E??C，?△CBD∽△EBO.

BDCD? BOEO25∴EO?.

2∴

∵OE∥BD，CO=OD， ∴CF=FB. ∴OF?1BD?2. 221 2∴EF?OE?OF?

?的中点，DE⊥AC交AC的延长线于E，⊙O的切12．如图，已知AB为⊙O直径，D是BC线交AD的延长线于F．

（1）求证：直线DE与⊙O相切；

（2）已知DG⊥AB且DE=4，⊙O的半径为5，求tan∠F的值．

【答案】（1）证明见解析；（2）2． 【解析】

试题分析：（1）连接BC、OD，由D是弧BC的中点，可知：OD⊥BC；由OB为⊙O的直径，可得：BC⊥AC，根据DE⊥AC，可证OD⊥DE，从而可证DE是⊙O的切线； （2）直接利用勾股定理得出GO的长，再利用锐角三角函数关系得出tan∠F的值． 试题解析：解：（1）证明：连接OD，BC，∵D是弧BC的中点，∴OD垂直平分BC，∵AB为⊙O的直径，∴AC⊥BC，∴OD∥AE．∵DE⊥AC，∴OD⊥DE，∵OD为⊙O的半径，∴DE是⊙O的切线；

??DB?，∴∠EAD=∠BAD，∵DE⊥AC，DG⊥AB且（2）解：∵D是弧BC的中点，∴DCDE=4，∴DE=DG=4，∵DO=5，∴GO=3，∴AG=8，∴tan∠ADG=线，∴∠ABF=90°，∴DG∥BF，∴tan∠F=tan∠ADG=2．

8=2，∵BF是⊙O的切4

点睛：此题主要考查了切线的判定与性质以及勾股定理等知识，正确得出AG，DG的长是解题关键．

13．已知⊙O中，弦AB=AC，点P是∠BAC所对弧上一动点，连接PA，PB． （1）如图①，把△ABP绕点A逆时针旋转到△ACQ，连接PC，求证：∠ACP+∠ACQ=180°；

（2）如图②，若∠BAC=60°，试探究PA、PB、PC之间的关系．

（3）若∠BAC=120°时，（2）中的结论是否成立？若是，请证明；若不是，请直接写出它们之间的数量关系，不需证明．