2020-2021中考数学压轴题专题复习—圆与相似的综合附详细答案

∴x=3，即BE=3；

②若FE=FD, 此时FG的长度是 ; ③若DE=DF, 此时FG的长度是

.

【解析】【分析】（1）因为ED=BD，所以∠B=∠BED．根据等角的补角相等可得∠A=∠GEF，而∠G是公共角，所以由相似三角形的判定可得△EFG∽△AEG； （2）作EH⊥AF于点H．∠AEF=∠ACB=90°，∠A是公共角，所以可得所以可得比例式，

AEF

ACB，

,由（1）得△EFG∽△AEG，所以可得比例式，

,因为FG=x，所以EG=2x，AG=4x．则AF=3x，由同角的余角相等可得

∠A=∠FEH,所以tanA =tan∠FEH,在Rt△EHF中，∠EHF=90°，tan∠FEH=

,所以EH=2HF,

在Rt△AEH中，同理可得AH=2EH，所以AH=4HF，AF=5HF，HF=x ，则EH= x ，△EFG的面积y= FG·EH=x· x=

,自变量的取值范围是0

（3）当△EFD为等腰三角形时，分三种情况讨论： ①当ED=EF时，则有∠EDF=∠EFD，易得FG=3； ②若FE=FD, 易得FG=； ③若DE=DF, 易得FG=

.

5．已知抛物线y=ax2+bx-3的图象与x轴交于点A（-1，0）和点B（3，0），顶点为D，点C是直线l：y=x+5与x轴的交点.

（1）求该二次函数的表达式；

（2）点E是直线l在第三象限上的点，连接EA、EB，当△ECA∽△BCE时，求E点的坐标；

（3）在（2）的条件下，连接AD、BD，在直线DE上是否存在点P，使得∠APD=∠ADB？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由.

【答案】 （1）解：将A（-1，0），B（3，0）代入y=ax2+bx-3， 得：

，解得：

，

∴该二次函数的表达式为y=x2-2x-3

（2）解：当y=0时，x+5=0， 解得：x=-5，

∴点C的坐标为（-5，0）.

∵点A的坐标为（-1，0），点B的坐标为（3，0）， ∴AC=4，BC=8. ∵△ECA∽△BCE，

∴∠ECA=∠BCE， = ，即 = ， ∴EC=4

或EC=-4

（舍去），

过点E作EF⊥x轴于点F，如图1所示，

∵直线l的函数表达式为y=x+5， ∴△CEF为等腰三角形， ∴CE=EF=4， ∴OF=5+4=9，EF=4， ∴点E的坐标为（-9，-4）；

（3）解：∵y=x2-2x-3=（x-1）2-4， ∴点D的坐标为（1，-4），

∴AD=BD=

∴直线DE的函数表达式为y=-4，

=2

，

由（2）可知：点E的坐标为（-9，-4），

过点A作AM⊥BD于点M，过点A作AN⊥直线DE于点N，如图2所示，

∵点D的坐标为（1，-4），点A的坐标为（-1，0），点B的坐标为（3，0）， ∴S△ABD= ×[3-（-1）]×4=8， ∴AM= ∴DM=

∵∠APD=∠ADB， ∴tan∠APD=tan∠ADB，即

= ，

= = =

， ，

∴ = ∴PN=3，

，

又∵点N的坐标为（-1，-4）， ∴点P的坐标为（-4，-4）或（2，-4）.

综上所述：在直线DE上存在点P（-4，-4）或（2，-4），使得∠APD=∠ADB.

【解析】【分析】（1）根据点A，B的坐标，利用待定系数法即可求出二次函数的表达式；（2）利用一次函数图象上点的坐标特征可求出点C的坐标，结合点A，B的坐标利用相似三角形的性质可求出EC的值，过点E作EF⊥x轴于点F，则△CEF为等腰三角形，根据等腰直角三角形的性质可求出CE，EF的值，进而可得出点E的坐标；（3）利用配方法可求出点D的坐标，进而可得出BD的长度，结合点E的坐标可得出直线DE的函数表达式为y=-4，过点A作AM⊥BD于点M，过点A作AN⊥直线DE于点N，利用面积法可求出AM的值，由∠APD=∠ADB结合正切的定义可求出PN的值，再结合点N的坐标可得出点P的坐标，此题得解.

6．已知在△ABC中，∠ABC=90°，AB=3，BC=4.点Q是线段AC上的一个动点，过点Q作AC的垂线交线段AB（如图1）或线段AB的延长线（如图2）于点P.

（1）当点P在线段AB上时，求证：△APQ∽△ABC； （2）当△PQB为等腰三角形时，求AP的长.

【答案】 （1））证明：∵∠A+∠APQ=90°，∠A+∠C=90°，∴∠APQ=∠C. 在△APQ与△ABC中，∵∠APQ=∠C，∠A=∠A， ∴△APQ∽△ABC.

（2）解：在Rt△ABC中，AB=3，BC=4，由勾股定理得：AC=5. ∵∠BPQ为钝角，∴当△PQB为等腰三角形时，只可能是PB=PQ. （I）当点P在线段AB上时，如题图1所示， 由（1）可知，△APQ∽△ABC， ∴ ∴

∵BP=BQ，∴∠BQP=∠P.

∵∠BQP+∠AQB=90°，∠A+∠P=90°，∴∠AQB=∠A。∴BQ=AB。 ∴AB=BP，点B为线段AB中点。 ∴AP=2AB=2×3=6.

综上所述，当△PQB为等腰三角形时，AP的长为 或6.

【解析】【分析】（1）由两对角相等（∠APQ=∠C，∠A=∠A），证明△APQ∽△ABC。（2）当△PQB为等腰三角形时，有两种情况，需要分类讨论.（I）当点P在线段AB上时，如题图1所示.由三角形相似（△APQ∽△ABC）关系计算AP的长；（II）当点P在线段AB的延长线上时，如题图2所示.利用角之间的关系，证明点B为线段AP的中点，从而可以求出AP.

，即

，解得： .

.

（II）当点P在线段AB的延长线上时，如题图2所示,

7．如图1，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=6cm，BC=8cm，点P从A出发沿AC向C点以