2020高中数学 第二章 圆锥曲线与方程 2.2.1 抛物线及其标准方程作业2 北师大版选修1-1

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2.2.1 抛物线及其标准方程

[A.基础达标]

2

1．已知点P为抛物线y＝2px上任一点，F为焦点，则以P为圆心，以|PF|为半径的圆与准线l( ) A．相交 B．相切 C．相离 D．位置由F确定 解析：选B.圆心P到准线l的距离等于|PF|，所以相切．

2

2．设抛物线y＝8x上一点P到y轴的距离是6，则点P到该抛物线焦点的距离是( ) A．12 B．8 C．6 D．4

解析：选B.由抛物线定义知：P到焦点的距离等于P到准线的距离，故P到焦点距离＝6－(－2)＝8.

22222

3．在同一坐标系中，方程ax＋by＝1与ax＋by＝0(a>b>0)的曲线大致是( )

xy112222

解析：选D.ax＋by＝1其标准方程为＋＝1，因为a>b>0，所以2<2，表示焦点在y轴上的椭圆；ax＋

11aba2b2aby2＝0其标准方程为y2＝－x，表示焦点在x的负半轴的抛物线．

b2

4．一个动圆的圆心在抛物线y＝8x上，且动圆恒与直线x＋2＝0相切，则动圆必过定点( )

A．(0，2) B．(0，－2) C．(2，0) D．(4，0)

解析：选C.由抛物线定义知圆心到准线x＋2＝0的距离等于到焦点F(2，0)的距离，所以动圆必过定点(2，0)．

5．当a为任意实数时，直线(2a＋3)x＋y－4a＋2＝0恒过定点P，则过点P的抛物线的标准方程是( )

122

A．x＝32y或y＝－x

2122

B．x＝－32y或y＝x

2122

C．y＝32x或x＝－y

2122

D．y＝－32x或x＝y

2

?2x－4＝0，?x＝2，??

解析：选C.该直线可化为(2x－4)a＋(3x＋y＋2)＝0，令?得?故该直线恒过定点P(2，

???3x＋y＋2＝0，?y＝－8，

－8)，经验证C符合要求．

6．准线方程为x＝－1的抛物线的标准方程为________． 解析：由题意可设该抛物线的标准方程为y＝2px(p>0)，其准线为x＝－＝－1，得p＝2.故该抛物线的标

2

2

准方程为y＝4x.

2

答案：y＝4x

→→2

7．已知O为坐标原点，F为抛物线y＝4x的焦点，A是抛物线上一点， 若OA·AF＝－4，则点A的坐标是________．

2

y2y200→y0→2

解析：因为抛物线y＝4x的焦点为F(1，0)，设A的坐标为(，y0)，则OA＝(，y0)，AF＝(1－，－y0)，

444

.

2

22

p .

→→42

由OA·AF＝－4得y0＋12y0－64＝0，即y0＝±2，

所以点A的坐标为(1，2)或(1，－2)． 答案：(1，2)或(1，－2)

2

8．设抛物线y＝2x的准线为l，P为抛物线上的动点，定点A(2，3)，则|AP|与点P到准线l的距离之和的最小值为________．

解析：设该抛物线的焦点为F，连接AF交抛物线于点P0，由抛物线定义可知P到准线l的距离等于|PF|，故|AP|与点P到l距离之和＝|AP|＋|PF|≥|AP0|＋|P0F|＝|AF|＝

12352

（2－）＋3＝.

2235答案：

2

9．已知抛物线的顶点在原点，焦点在y轴上，抛物线上一点M(m，离为5，求m的值、抛物线方程及其准线方程．

2

－3)到焦点F的距

解：设所求抛物线方程为x＝－2py(p>0)，则焦点F的坐标为?0，－?.因为M(m，－3)在抛物线上，且|MF|

2??

m2＝6p，

?p＝4，

＝5，故解得? p?2?2

m＝±26.? m＋?－3＋?＝5，

2??

?

p?

?

??

所以所求的抛物线方程为x＝－8y，m＝±26，准线方程为y＝2.

10．一辆卡车高3 m，宽1.6 m，欲通过断面为抛物线形的隧道，已知拱口AB宽恰好是拱高CD的4倍，若拱宽为a m，求能使卡车通过的a的最小整数值．

解：以拱顶为原点，拱高所在直线为y轴，建立如图所示的直角坐标系．设抛物线方程为x＝－2py(p>0)，则点B的坐标为(，－)，由点B在抛物线上，

242p·(－)，p＝，

42

2

所以抛物线方程为x＝－ay.

0.64

将点E(0.8，y)代入抛物线方程，得y＝－.

2

2

aa所以(

a2

)＝－

2

aaaaa0.64所以点E到拱底AB的距离为－|y|＝－>3.

44a解得a>12.21，因为a取整数，所以a的最小整数值为13.

[B.能力提升]

52

1．已知抛物线C：y＝x的焦点为F，A(x0，y0)是C上一点，|AF|＝x0，则x0＝( )

4

A．4 B．2 C．1 D．8 解析：

15p1

选C.如图，F(，0)，过A作AA′⊥准线l，所以|AF|＝|AA′|，所以x0＝x0＋＝x0＋，所以x0＝1.

4424

2．在平面直角坐标系中，A，B分别是x轴和y轴上的动点，若以AB为直径的圆C与直线2x＋y－4＝0相切，则圆C面积的最小值为( )

43A.π B.π 54

.

.

5D.π 4

解析：选A.因为∠AOB＝90°，所以点O在圆C上．

设直线2x＋y－4＝0与圆C相切于点D，则点C与点O间的距离等于它到直线2x＋y－4＝0的距离， 所以点C在以O为焦点，以直线2x＋y－4＝0为准线的抛物线上， 所以当且仅当O，C，D共线时，圆的直径最小为|OD|.

|2×0＋0－4|42

又|OD|＝＝，所以圆C的最小半径为，

555

224

所以圆C面积的最小值为π()＝π.

55C．(6－25)π

3．已知抛物线C：y＝2px(p>0)的焦点为F，准线为l，P为抛物线上一点，过点P作直线l的垂线PM，垂

足为M，已知△PFM为等边三角形，则△PFM的面积为________．

32

解析：设l与x轴交于点A，则|AF|＝p，因为∠AFM＝60°，所以|MF|＝2|AF|＝2p，所以S△PFM＝(2p)

4＝3p.

2

答案：3p

2

4．设抛物线C：y＝2px(p>0)的焦点为F，点M在C上，|MF|＝5，若以MF为直径的圆过点(0，2)，则C的方程为________．

pp→→→2

解析：设(0，2)为点A，因为|MF|＝5，所以M(5－，10p－p)，由题意可得：AM·AF＝0，AM＝(5－，10p－p2

22

2

2

pp→p→→22

－2)，AF＝(，－2)，AM·AF＝(5－)·＋(10p－p－2)(－2)＝0，得p＝2或p＝8，故C的方程为y＝4x222

2

或y＝16x.

22

答案：y＝4x或y＝16x

5．过抛物线焦点F的直线交该抛物线于P、Q两点，弦PQ的垂直平分线交抛物线的对称轴于R点．求证：1

|FR|＝|PQ|.

2

证明：建立直角坐标系，如图所示．

设R点坐标为(x，0)，P点坐标为(x1，y1)，Q点坐标为(x2，y2)，

所以|FR|＝x－.由题设，知|RP|＝|RQ|，

22222

即(x－x1)＋y1＝(x－x2)＋y2，①

22

因为y2＝2px2，y1＝2px1，代入方程①，得

22

(x－x1)－(x－x2)＝2p(x2－x1)．

x1＋x2

因为x1≠x2，所以x＝＋p.

2

x1＋x2p所以|FR|＝＋，

22

|PQ|＝|PF|＋|FQ|＝(x1＋)＋(x2＋)＝(x1＋x2)＋p，

22

1

所以|FR|＝|PQ|.

2

1?1?6．(选做题)已知点A(3，2)，点M到F?，0?的距离比它到y轴的距离大. 2?2?

(1)求点M的轨迹方程；

(2)是否存在M，使|MA|＋|MF|取得最小值？若存在，求此时点M的坐标；若不存在，请说明理由．

1?1??1?解：(1)由于动点M到F?，0?的距离比它到y轴的距离大，所以动点M到F?，0?的距离与它到直线l：x2?2??2?

12

＝－的距离相等，由抛物线的定义知动点M的轨迹是以F为焦点，l为准线的抛物线，其方程应为y＝2px(p>0)

2

.

ppp .

p12

的形式，而＝，所以p＝1，2p＝2，故轨迹方程为y＝2x.

22

(2)存在M.理由如下：由题意得A(3，2)在抛物线内部，如图，由于点以|MF|等于点M到其准线l的距离|MN|，于是|MA|＋|MF|＝|MA|＋|MN|，点共线时，|MA|＋|MN|取最小值，亦即|MA|＋|MF|取最小值，这时M的纵M(x0，2)，代入抛物线方程得x0＝2，即M(2，2)．

M在抛物线上，所所以当A、M、N三

坐标为2，可设

.