(新课改地区)2021版高考数学一轮复习第二章函数及其应用2.3函数的奇偶性、对称性与周期性练习新人教B版

2.3 函数的奇偶性、对称性与周期性

核心考点·精准研析

考点一 函数奇偶性的判断

1.下列函数为奇函数的是 ( )

A.f(x)=

B.f(x)=e

x

-x

x

C.f(x)=cos x D.f(x)=e-e

2.已知函数f(x)=3-

x

,则f(x) ( )

A.是奇函数,且在R上是增函数 B.是偶函数,且在R上是增函数 C.是奇函数,且在R上是减函数 D.是偶函数,且在R上是减函数

3.若函数f(x)(x∈R)是奇函数,函数g(x)(x∈R)是偶函数,则 ( ) A.函数f(g(x))是奇函数 B.函数g(f(x))是奇函数 C.函数f(x)·g(x)是奇函数 D.函数f(x)+g(x)是奇函数

4.已知定义在R上的函数f(x),对任意的x1,x2∈R都有f(x1+x2)-f(x1)=f(x2)+5,则下列命题正确的是

( )

B.f(x)是偶函数

A.f(x)是奇函数 C.f(x)+5是奇函数

D.f(x)+5是偶函数

-x

【解析】1.选D.对于A,定义域不关于原点对称,故不是奇函数;对于B, f(-x)=e=≠-f(x),

故不是奇函数;对于C,f(-x)=cos(-x)=cos x≠-f(x),故不是奇函数;对于D,f(-x)=e-e=-(e-e)=-f(x),是奇函数. 2.选A.因为函数f(x)的定义域为R,

-x

x

x

-x

1

f(-x)=3-

-x

=-3=-f(x),

x

所以函数f(x)是奇函数.

因为函数y=在R上是减函数,

所以函数y=-x

在R上是增函数.

又因为y=3在R上是增函数,

所以函数f(x)=3-

x

在R上是增函数.

3.选C.令h(x)=f(x)·g(x),因为函数f(x)是奇函数,函数g(x)是偶函数,所以f(-x)=-f(x),g(-x)=g(x),所以h(x)=f(x)·g(x)是奇函数. 4.选C.取x1=x2=0,得

f(0+0)-f(0)=f(0)+5,所以

f(0)=-5.令

x1=x,x2=-x,则

h(-x)=f(-x)·g(-x)=-f(x)·g(x)=-h(x),所以

f[x+(-x)]-f(x)=f(-x)+5,所以f(0)-f(x)=f(-x)+5,所以f(-x)+5=-[f(x)+5],所以函数f(x)+5是奇函数.

判断函数奇偶性的方法

(1)定义法:利用奇、偶函数的定义或定义的等价形式:性.

(2)图象法:利用函数图象的对称性判断函数的奇偶性. (3)验证法:即判断f(x)±f(-x)是否为0.

=±1(f(x)≠0)判断函数的奇偶

(4)性质法:在公共定义域内有:奇±奇=奇,偶±偶=偶,奇×奇=偶,偶×偶=偶,奇×偶=奇. 考点二 函数的周期性及应用

时,f(x)=x-3x,

3

【典例】1.已知定义在R上的奇函数f(x)满足f(x+5)=f(x),且当x∈则f(2 018)= ( ) A.2

B.-18

C.18

D.-2

2

2.已知函数f(x)是定义在R上的偶函数,若对于x≥0,都有f(x+2)=-时,f(x)=log2(x+1),则f(-2 017)+f(2 019)的值为 A.0

B.-4

C.-2

( ) D.2

,且当x∈[0,2)

3.(2019·重庆模拟)已知奇函数f(x)的图象关于直线x=3对称,当x∈[0,3]时,f(x)=-x,则f(-16)=________. 【解题导思】 序号 1 2 3 由f(x+5)=f(x),想到周期函数 由f(x+2)=-,想到周期函数 联想解题 由f(x)的图象关于直线x=3对称,想到f(x)=f(6-x) 【解析】1.选D.因为f(x)满足f(x+5)=f(x), 所以f(x)是周期为5的函数, 所以f(2 018)=f(403×5+3) =f(3)=f(5-2)=f(-2),

3

因为f(x)是奇函数,且当x∈所以f(-2)=-f(2)=-(2-3×2)=-2, 故f(2 018)=-2.

2.选A.当x≥0时,f(x+2)=-所以f(x+4)=f(x),

即4是f(x)(x≥0)的一个周期.

,

3

时,f(x)=x-3x,

所以f(-2 017)=f(2 017)=f(1)=log22=1, f(2 019)=f(3)=-=-1,

所以f(-2 017)+f(2 019)=0.

3.根据题意,函数f(x)的图象关于直线x=3对称,

3

则有f(x)=f(6-x),

又由函数为奇函数,则f(-x)=-f(x), 则有f(x)=-f(x-6)=f(x-12), 则f(x)的最小正周期是12,

故f(-16)=f(-4)=-f(4)=-f(2)=-(-2)=2. 答案:2

1.抽象函数的周期性

(1)如果f(x+a)=-f(x)(a≠0),那么f(x)是周期函数,其中一个周期T=2a. (2)如果f(x+a)=

(a≠0),那么f(x)是周期函数,其中的一个周期T=2a.

(3)如果f(x+a)+f(x)=c(a≠0),那么f(x)是周期函数,其中的一个周期T=2a. (4)如果f(x+a)=f(x-b),则T=|a+b|.

(5)如果f(x)的图象关于(a,0)对称,且关于x=b对称,则T=4|a-b|. (6)如果f(x)的图象关于(a,0)对称,且关于(b,0)对称,则T=2|a-b|.

2.函数f(x)满足的关系f(a+x)=f(b-x)表明的是函数图象的对称性,函数f(x)满足的关系f(a+x)=f(b+x)(a≠b)表明的是函数的周期性,在使用这两个关系时不要混淆.

1.(2020·菏泽模拟)定义在R上的函数f(x)的周期为π,且是奇函数,f值为 A.1

( )

B.-1

C.0

D.2

=1,则f

的

【解析】选B.因为函数f(x)的周期为π,

所以f=f=f,

因为f(x)为奇函数,所以 f=-f=-1.

2.(2019·长春模拟)已知定义在R上的函数f(x)的周期为6,且

4