2019-2020学年同步人教A版高中数学选修2-2培优新方案_课时跟踪检测(十五) 反证法

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课时跟踪检测（十五） 反证法

一、题组对点训练

对点练一 用反证法证明“否定性”命题

1．应用反证法推出矛盾的推理过程中，可作为条件使用的是( ) ①结论的否定；②已知条件； ③公理、定理、定义等；④原结论． A．①② C．①②③

B．②③ D．①②④

解析：选C 根据反证法的基本思想，应用反证法推出矛盾的推导过程中可把“结论的否定”、“已知条件”、“公理、定理、定义”等作为条件使用．

2．用反证法证明“一个三角形不能有两个直角”有三个步骤：

①∠A＋∠B＋∠C＝90°＋90°＋∠C>180°，这与三角形内角和为180°矛盾，故假设错误．

②所以一个三角形不能有两个直角．

③假设△ABC中有两个直角，不妨设∠A＝90°，∠B＝90°. 上述步骤的正确顺序为________． 答案：③①②

3．等差数列{an}的前n项和为Sn，a1＝1＋2，S3＝9＋32. (1)求数列{an}的通项an与前n项和Sn；

Sn(2)设bn＝n(n∈N*)，求证：数列{bn}中任意不同的三项都不可能成为等比数列．

??a1＝2＋1，

解：(1)设公差为d，由已知得?

??3a1＋3d＝9＋32，

解得d＝2，故an＝2n－1＋2，Sn＝n(n＋2)． Sn(2)证明：由(1)得bn＝n＝n＋2.

假设数列{bn}中存在三项bp，bq，br(p，q，r互不相等)成等比数列，则b2q＝bpbr， 即(q＋2)2＝(p＋2)(r＋2)， 所以(q2－pr)＋(2q－p－r)2＝0.

?q2－pr＝0，?又p，q，r∈N*，所以?

??2q－p－r＝0.

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?p＋r?2

所以??＝pr.

?2?(p－r)2＝0，所以p＝r，这与p≠r矛盾．

所以数列{bn}中任意不同的三项都不可能成为等比数列． 对点练二 用反证法证明“至多”、“至少”型命题

4．用反证法证明命题：“三角形的内角中至少有一个不大于60°”时，假设正确的是( )

A．假设三内角都不大于60° B．假设三内角都大于60°

C．假设三内角至少有一个大于60° D．假设三内角至多有两个大于60°

解析：选B “至少有一个”即“全部中最少有一个”．

5．设实数a、b、c满足a＋b＋c＝1，则a、b、c中至少有一个数不小于________． 1

解析：假设a、b、c都小于，则a＋b＋c＜1与a＋b＋c＝1矛盾．故a、b、c中至少

31

有一个不小于.

3

1

答案：

3

πππ

6．若x，y，z均为实数，且a＝x2－2y＋，b＝y2－2z＋，c＝z2－2x＋，则a，b，c

236中是否至少有一个大于0？请说明理由．

解：是．假设a，b，c都不大于0， 即a≤0，b≤0，c≤0，则a＋b＋c≤0. πππ

而a＋b＋c＝x2－2y＋＋y2－2z＋＋z2－2x＋ 236＝(x－1)2＋(y－1)2＋(z－1)2＋π－3，

因为π－3>0，且无论x，y，z为何实数，(x－1)2＋(y－1)2＋(z－1)2≥0，所以a＋b＋c>0. 这与假设a＋b＋c≤0矛盾． 因此，a，b，c中至少有一个大于0. 对点练三 用反证法证明“唯一性”命题

7．用反证法证明命题“关于x的方程ax＝b(a≠0)有且只有一个解”时，反设是关于x的方程ax＝b(a≠0)( )

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A．无解 C．至少有两解

B．有两解

D．无解或至少有两解

解析：选D “唯一”的否定上“至少两解或无解”． 8．“自然数a，b，c中恰有一个偶数”的否定正确的为( ) A．a，b，c都是奇数 B．a，b，c都是偶数

C．a，b，c中至少有两个偶数

D．a，b，c中都是奇数或至少有两个偶数

解析：选D 自然数a，b，c的奇偶性共有四种情形：(1)3个都是奇数；(2)2个奇数，1个偶数；(3)1个奇数，2个偶数；(4)3个都是偶数．所以否定正确的是a，b，c中都是奇数或至少有两个偶数．

9．求证：两条相交直线有且只有一个交点．

证明：因为两直线为相交直线，故至少有一个交点，假设两条直线a，b不只有一个交点，则至少有两个交点A和B，这样同时经过点A，B的直线就有两条，这与“经过两点有且只有一条直线”相矛盾．

综上所述，两条相交直线有且只有一个交点． 二、综合过关训练

1．用反证法证明命题“a，b∈N，如果ab可被5整除，那么a，b至少有1个能被5整除”，则假设的内容是( )

A．a，b都能被5整除 C．a不能被5整除

B．a，b都不能被5整除 D．a，b有1个不能被5整除

解析：选B 用反证法只否定结论即可，而“至少有一个”的反面是“一个也没有”，故B正确．

2．有以下结论：

①已知p3＋q3＝2，求证p＋q≤2，用反证法证明时，可假设p＋q≥2；②已知a，b∈R，|a|＋|b|<1，求证方程x2＋ax＋b＝0的两根的绝对值都小于1，用反证法证明时可假设方程有一根x1的绝对值大于或等于1，即假设|x1|≥1.下列说法中正确的是( )

A．①与②的假设都错误 C．①的假设正确；②的假设错误

B．①与②的假设都正确

D．①的假设错误；②的假设正确

解析：选D 用反证法证题时一定要将对立面找准．在①中应假设p＋q>2.故①的假设

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是错误的，而②的假设是正确的．

111

3．设a、b、c都是正数，则三个数a＋b，b＋c，c＋a( ) A．都大于2

C．至少有一个不大于2

解析：选D 因为a、b、c都是正数，

111111

a＋?＋?b＋?＋?c＋?＝?a＋?＋?b＋?＋?c＋?≥6. 则有??b??c??a??a??b??c?故三个数中至少有一个不小于2.

4．已知数列{an}，{bn}的通项公式分别为an＝an＋2，bn＝bn＋1(a，b是常数)，且a＞b，那么两个数列中序号与数值均相同的项的个数有( )

A．0个 C．2个

B．1个 D．无穷多个 B．至少有一个大于2 D．至少有一个不小于2

解析：选A 假设存在序号和数值均相等的项，即存在n使得an＝bn，由题意a＞b，n∈N*，则恒有an＞bn，从而an＋2＞bn＋1恒成立，∴不存在n使得an＝bn.

5．已知平面α∩平面β＝直线a，直线b?α，直线c?β，b∩a＝A，c∥a，求证：b与c是异面直线，若利用反证法证明，则应假设________．

解析：∵空间中两直线的位置关系有3种：异面、平行、相交，∴应假设b与c平行或相交．

答案：b与c平行或相交 6．完成反证法证题的全过程．

题目：设a1，a2，…，a7是1,2，…，7的一个排列，求证：乘积p＝(a1－1)(a2－2)…(a7

－7)为偶数．

证明：假设p为奇数，则________均为奇数．① 因奇数个奇数之和为奇数，故有 奇数＝________② ＝________③ ＝0.

这与0为偶数矛盾，说明p为偶数． 解析：证明过程应为：假设p为奇数， 则有a1－1，a2－2，…，a7－7均为奇数，