二轮专题复习圆锥曲线教学案

专题复习：圆锥曲线

【知识梳理】

1、 椭圆、双曲线、抛物线的概念。 2、标准方程所表示曲线的几何性质。 3、直线与圆锥曲线的位置关系。 4、体会设而不求思想及坐标法解题。

通过对近几年的高考试卷的分析，可以发现选择题、填空题与解答题均可涉及本章的知识，分值20分左右。主要呈现以下几个特点：

1．考查圆锥曲线的基本概念、标准方程及几何性质等知识及基本技能、基本方法，常以选择题与填空题的形式出现。

2．直线与圆锥曲线的位置关系，常以压轴题的形式出现，这类问题视角新颖，常见的性质、基本概念、基础知识等被附以新的背景，以考查学生的应变能力和解决问题的灵活程度。 3．在考查基础知识的基础上，注意对数学思想与方法的考查，注重对数学能力的考查，强调探究性、综合性、应用性，注重试题的层次性，坚持多角度、多层次的考查，合理调控综合程度；

4．轨迹问题、对称问题、参变量的范围问题、定点、定值及最值问题也是本章的几个热点问题，难度有所降低，有逐步趋向稳定的趋势。 【自测回扣】

x2y2

1、已知椭圆＋＝1的两个焦点分别为F1，F2，P为椭圆上一点，满足∠F1PF2＝30°，则

43△F1PF2的面积为

(A) 3(2＋3) (B) 3(2－3) (C)2＋3 答案：(B)

2、设直线l过双曲线C的一个焦点，且与C的一条对称轴垂直，l与C交于 A,B两点，AB为C的实轴长的2倍，则C的离心率为

（A）2 （B）3 （C）2 （D）3 答案：(B)

(D) 2－3

x2y23、椭圆2?2?1(a＞b＞0)的左、右焦点分别是F1，F2，过F2作倾斜角为120?的直线与

ab椭圆的一个交点为M，若MF1垂直于x轴，则椭圆的离心率为____________. 答案：2?3

4、在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝2x2上一点M，点M的横坐标是2，则M到抛物线焦点的距离是________． 65

答案：.

8【典型例题】

x2y21例1、已知椭圆C:2?2?1(a?b?0)的一个焦点是F(1,0)，且离心率为.（Ⅰ）

2ab

求椭圆C的方程；（Ⅱ）设经过点F的直线交椭圆C于M,N两点，线段MN的垂直平分线交y轴于点P(0,y0)，求y0的取值范围.

（Ⅰ）解：设椭圆C的半焦距是c.依题意，得 c?1. 因为椭圆C的离心率为

1， 2所以a?2c?2，b2?a2?c2?3.

x2y2??1. 故椭圆C的方程为 43（Ⅱ）解：当MN?x轴时，显然y0?0.

当MN与x轴不垂直时，可设直线MN的方程为y?k(x?1)(k?0).

?y?k(x?1),由 ?2消去y整理得 (3?4k2)x2?8k2x?4(k2?3)?0. 2?3x?4y?12,设M(x1,y1),N(x2,y2)，线段MN的中点为Q(x3,y3)，

8k2则 x1?x2?.

3?4k2x1?x24k2?3ky?k(x?1)??所以 x3?，. 333?4k223?4k23k14k2??(x?). 线段MN的垂直平分线方程为y?22k3?4k3?4kk1?在上述方程中令x?0，得y0?.

3?4k23?4kk当k?0时，所以?33?4k??43；当k?0时，?4k?43. kk33. ?y0?0，或0?y0?121233,]. 1212综上，y0的取值范围是[?思想方法规律总结：垂直平分问题要充分抓住垂直和平分两个条件：垂直用好斜率为负倒数的条件，平分用好中点在对称轴上的条件；求y0的范围，要把y0表示为k的函数. 变式训练1、

在周长为定值的?ABC中，已知|AB|?23，动点C的运动轨迹为曲线G,且当动点C运动时，cosC有最小值?1. 2(1)以AB所在直线为x轴，线段AB的中垂线为y轴建立直角坐标系，求曲线G的方程. (2)过点(m,0)作圆x2＋y2＝1的切线l交曲线G于M，N两点．将线段MN的长|MN|表示为m

的函数，并求|MN|的最大值．

解：(1)设 |CA|?|CB|?2a (a?3)为定值，所以C点的轨迹是以A、B为焦点的椭圆，所以焦距2c?|AB|?23. 因为 cosC?|CA|2?|CB|2?(23)2(|CA|?|CB|)2?2|CA||CB|?122a2?6???1

2|CA||CB|2|CA||CB||CA||CB|又 |CA|?|CB|?(2a2661)?a2，所以 cosC?1?2，由题意得 1?2??,a2?4. 2aa2x2?y2?1(y?0) 所以C点轨迹G 的方程为 4(2) 由题意知，|m|≥1.

当m＝1时，切线l的方程为x＝1，点M，N的坐标分别为?1，

3??3，1，－?，此时|MN|2??2?

?

＝3.

当m＝－1时，同理可知|MN|＝3. 当|m|＞1时，设切线l的方程为y＝k(x－m)，

y＝k?x－m?，??2

由?x得(1＋4k2)x2－8k2mx＋4k2m2－4＝0. 2

??4＋y＝1

设M，N两点的坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)， 4k2m2－48k2m则x1＋x2＝，xx＝，

1＋4k2121＋4k2又由l与圆x2＋y2＝1相切，得

|km|

＝1，即m2k2＝k2＋1， 2k＋1

所以|MN|＝?x2－x1?2＋?y2－y1?2＝?1＋k2?[?x1＋x2?2－4x1x2] ＝

?64km－4?4km－4??＝43|m|. ?1＋k???1＋4k2?m2＋3??1＋4k2?22

4222由于当m＝±1时，|MN|＝3. 所以|MN|＝因为|MN|＝

43|m|

，m∈(－∞，－1 ]∪[1，＋∞)． m2＋3

43|m|43＝≤2，且当m＝±3时，|MN|＝2. 23m＋3

|m|＋

|m|

2所以|MN|的最大值为2.

例2、已知点A（－1，0），B（1，－1）和抛物线.C:y?4x，O为坐标原点，过点A的动直线l交抛物线C于M、P，直线MB交抛物线C于另一点Q，如图.

?????????（I）证明: OM?OP为定值;

5（II）若△POM的面积为，求向量OM与OP的夹角；

2

(Ⅲ) 证明直线PQ恒过一个定点.

2y12y2,y1),P(,y2),?P、M、A三点共线， 解：（I）设点M(44?kAM?kDM,即y1y12?14?y1?y2, 22y1y2?44

即y11?,?y1y2?4 2y1?4y1?y22y12y2?OM?OP???y1y2?5.

44 (II)设∠POM=α，则|OM|?|OP|?cos??5. ?S?ROM?5,?|OM|?|OP|?sin??5.由此可得tan? =1, 2又??(0,?),???45?,故向量OM与OP的夹角为45?.

2y3,y3),?M、B、Q三点共线，?kBQ?kQM, (Ⅲ)设点Q(4y32y3?14?y1?y3y3?11,即?, 22y12y3y3?4y1?y3?44444,??y3??y3?4?0, y2y2y2

2?(y3?1)(y1?y3)?y3?4,即y1y3?y1?y3?4?0

?y1y2?4,即y1?即4(y2?y3)?y2y3?4?0.(*)

?kPQ?y2?y34?, 22y?yyy223?3442y24?直线PQ的方程是y?y2?(x?)

y2?y342即(y?y2)(y2?y3)?4x?y2,即y(y2?y3)?y2y3?4x.

由（*）式，?y2y3?4(y2?y3)?4,代入上式，得(y?4)(y2?y3)?4(x?1). 由此可知直线PQ过定点E(1,?4).

思想方法规律总结：定值问题注意联系韦达定理；定点问题注意要把直线表示成y-y0=k(x-x0). 变式训练2、

x2y2??1的两焦点，P是椭圆在第一象限弧上一点，且满足已知 F1、F2是椭圆24