2018版高中数学选修1-1学案：第二章 章末复习提升 含答案 精品

1.能够熟练使用直接法、待定系数法、定义法求椭圆方程；能够利用“坐标法”研究椭圆的基本性质；能够利用数形结合思想、分类讨论思想、参数法解决椭圆中的有关问题.

2.能够根据所给的几何条件熟练地求出双曲线方程，并能灵活运用双曲线定义、参数间的关系，解决相关问题；准确理解参数a、b、c、e的关系、渐近线及其几何意义，并灵活运用. 3.会根据方程形式或焦点位置判断抛物线的标准方程的类型；会根据抛物线的标准方程确定其几何性质，以及会由几何性质确定抛物线的方程.了解抛物线的一些实际应用.

1.数形结合思想

“数形结合”指的是在处理数学问题时，能够将抽象的数学语言与直观的几何图形有机结合起来思索，促使抽象思维和形象思维的和谐结合，通过对规范图形或示意图形的观察分析，化抽象为直观，化直观为精确，从而使问题得到解决.判断直线与圆锥曲线的位置关系、求最值等问题，可以结合图形，运用数形结合思想，化抽象为具体，使问题变得简单.

x2y2

例1 双曲线2－2＝1(a>0，b>0)的左，右焦点分别为F1，F2，若P为双曲线上一点，且PF1

ab＝2PF2，则双曲线离心率的取值范围为__________.

答案 (1,3] 解析 如图所示，

由PF1＝2PF2知P在双曲线的右支上， 则PF1－PF2＝2a， 又PF1＝2PF2， ∴PF1＝4a，PF2＝2a， 在△F1PF2中，由余弦定理得

22

PF21＋PF2－F1F2

cos∠F1PF2＝ 2PF1·PF2

16a2＋4a2－4c25c25e2

＝＝－2＝－，

2·4a·2a44a44∵0<∠F1PF2≤π，

且当点P是双曲线的顶点时，∠F1PF2＝π， ∴－1≤cos∠F1PF2<1，

5e2

∴－1≤－<1，由e>1，解得1

44

跟踪训练1 抛物线y2＝2px(p>0)上有A(x1，y1)，B(x2，y2)，C(x3，y3)三点，F是它的焦点，若AF，BF，CF成等差数列，则下列说法正确的是______.(填序号) ①x1，x2，x3成等差数列 ②y1，y2，y3成等差数列 ③x1，x3，x2成等差数列 ④y1，y3，y2成等差数列 答案 ①

解析 如图，过A，B，C分别作准线的垂线，垂足分别为A′，B′，C′，由抛物线定义知： AF＝AA′，BF＝BB′，CF＝CC′. ∵2BF＝AF＋CF， ∴2BB′＝AA′＋CC′.

ppp又∵AA′＝x1＋，BB′＝x2＋，CC′＝x3＋，

222ppp

∴2(x2＋)＝x1＋＋x3＋?2x2＝x1＋x3.

2222.分类讨论思想

分类讨论思想是指当所给的对象不能进行统一研究时，我们就需要对研究的对象进行分类，然后对每一类进行研究，得出每一类的结论，最后综合各类的结果得到整个问题的结果.如曲线方程中含有的参数的取值范围不同，对应的曲线也不同，这时要讨论字母的取值范围，有时焦点位置也要讨论，直线的斜率是否存在也需要讨论.

3

例2 如果双曲线的两条渐近线的方程为y＝±x，求此双曲线的离心率.

4b3

解 当双曲线的焦点在x轴上时，由已知可得＝，

a4

22

ca＋bb2252??∵c＝a＋b，∴e＝?a?＝2＝1＋2＝，

aa162

2

2

2

5

∴双曲线的离心率e＝；

4

5

同理，当焦点在y轴上时，可求得离心率e＝.

355

故双曲线的离心率为或.

43

跟踪训练2 求适合下列条件的椭圆的标准方程. (1)椭圆的长轴长是短轴长的2倍，且过点P(2，－6)； (2)椭圆过点P(3,0)，且e＝6. 3

x2y2y2x2

解 (1)设椭圆的标准方程为2＋2＝1或2＋2＝1(a>b>0).

abab由已知得a＝2b.①

436364

∵椭圆过点P(2，－6)，∴2＋2＝1或2＋2＝1.②

abab由①②得a2＝148，b2＝37或a2＝52，b2＝13. x2y2y2x2

故所求椭圆的标准方程为＋＝1或＋＝1.

148375213(2)当焦点在x轴上时，∵椭圆过点P(3,0)，∴a＝3. c6

又＝，∴c＝6. a3∴b2＝a2－c2＝3.

x2y2

此时椭圆的标准方程为＋＝1.

93

当焦点在y轴上时，∵椭圆过点P(3,0)，∴b＝3. a2－b2c66又＝，∴＝，∴a2＝27. a3a3y2x2

此时椭圆的标准方程为＋＝1.

279

x2y2y2x2

故所求椭圆的标准方程为＋＝1或＋＝1.

932793.函数与方程思想

圆锥曲线中的许多问题，若能运用函数与方程的思想去分析，则往往能较快地找到解题的突破口.用函数思想解决圆锥曲线中的有关定值、最值问题，最值问题是高中数学中常见的问题，

在圆锥曲线问题中也不例外，而函数思想是解决最值问题最有利的武器.我们通常可用建立目标函数的方法解有关圆锥曲线的最值问题.

方程思想是从分析问题的数量关系入手，通过联想与类比，将问题中的条件转化为方程或方程组，然后通过解方程或方程组使问题获解，方程思想是高中数学中最基本、最重要的思想方法之一，在高考中占有非常重要的地位.在求圆锥曲线方程、直线与圆锥曲线的位置关系的问题中经常利用方程或方程组来解决.

例3 已知椭圆ax2＋by2＝1(a>0，b>0且a≠b)与直线x＋y－1＝0相交于A，B两点，C是AB的中点，若AB＝22，OC的斜率为2

，求椭圆的方程. 2

解 方法一 设A(x1，y1)，B(x2，y2)，代入椭圆方程并作差， 得a(x1＋x2)(x1－x2)＋b(y1＋y2)(y1－y2)＝0.① y1－y2∵A，B为直线x＋y－1＝0上的点，∴＝－1.

x1－x2y1＋y22

由已知得＝kOC＝，代入①式可得b＝2a.

2x1＋x2直线x＋y－1＝0的斜率k＝－1.

又AB＝1＋k2|x2－x1|＝2|x2－x1|＝22， ∴|x2－x1|＝2.

联立ax2＋by2＝1与x＋y－1＝0可得(a＋b)x2－2bx＋b－1＝0.

b－12b

且由已知得x1，x2是方程(a＋b)x2－2bx＋b－1＝0的两根，∴x1＋x2＝，x1x2＝，

a＋ba＋b∴4＝(x2－x1)2＝(x1＋x2)2－4x1x2 2b?2b－1?＝a＋b－4·.②

??a＋b

12将b＝2a代入②式，解得a＝，∴b＝.

33x22

∴所求椭圆的方程是＋y2＝1.

33

?ax2＋by2＝1，?

方法二 由?得(a＋b)x2－2bx＋b－1＝0.

??x＋y－1＝0，

b－12b

设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1＋x2＝，x1x2＝，

a＋ba＋b且直线AB的斜率k＝－1， ∴AB＝?k2＋1??x1－x2?2 ＝?k2＋1?[?x1＋x2?2－4x1x2]