2017三角函数学案3.doc

π?π??????10．有两个函数f(x)＝asinkx＋3，g(x)＝bcos2kx－3? (k>0)，它????

?π??π??π??π?3π

们的周期之和为2，且f?2?＝g?2?，f?4?＝－3·g?4?＋1，求k，a，b.

????????

1.4.2 正弦函数、余弦函数的性质(一)

答案

知识梳理

1．(1)非零常数T 每一个值 f(x＋T)＝f(x) (2)最小正周期

2．sin x cos x 周期 2kπ (k∈Z且k≠0) 2π 3．(1)R y轴 (2)－sin x 奇 原点 (3)cos x 偶 y轴 自主探究

解 由诱导公式知

Asin[(ωx＋φ)＋2π]＝Asin(ωx＋φ)

2π????

也就是Asin?ω?x＋ω?＋φ?＝Asin(ωx＋φ)

????2π????x＋即fω?＝f(x) ?

2π

所以函数f(x)＝Asin(ωx＋φ) (ω≠0)是周期函数，ω就是它的一个2π

周期，|ω|是它的最小正周期．

同理，函数f(x)＝Acos(ωx＋φ) (ω≠0)也是周期函数，最小正周2π

期也是|ω|.

对点讲练

π??2π??例1 解 (1)f(x)＝sin2x＋3的周期为2＝π. ??

(2)作出y＝|sin x|的图象．

由图象可知，y＝|sin x|的周期为π.

2π

变式训练1 解 (1)T＝1＝4π.

???－??2?

(2)函数y＝|cos x|的图象如图所示：

根据图象可知：T＝π.

1

例2 解 (1)显然x∈R，f(x)＝cos 2x，

?1?1

f(－x)＝cos?－2x? ＝cos 2x＝f(x)，

??

∴f(x)是偶函数．

??1－sin x>0(2)由?，得－1

?1＋sin x>0?

π??

??. x|x∈R且x≠kπ＋，k∈Z解得定义域为2??

∴f(x)的定义域关于原点对称． 又∵f(x)＝lg(1－sin x)－lg(1＋sin x)

∴f(－x)＝lg[1－sin(－x)]－lg[1＋sin(－x)] ＝lg(1＋sin x)－lg(1－sin x)＝－f(x)． ∴f(x)为奇函数．

(3)∵1＋sin x≠0，∴sin x≠－1，

π

∴x∈R且x≠2kπ－2，k∈Z. ∵定义域不关于原点对称， ∴该函数是非奇非偶函数．

变式训练2 解 (1)f(x)＝sin 2x＋x2sin x， 又∵x∈R，f(－x)＝sin(－2x)＋(－x)2sin(－x) ＝－sin 2x－x2sin x＝－f(x)， ∴f(x)是奇函数．

??1－2cos x≥01(2)由?，得cos x＝2. ??2cos x－1≥0

π

∴f(x)＝0，x＝2kπ±3，k∈Z. ∴f(x)既是奇函数又是偶函数．

例3 解 ∵f(x)的最小正周期是π， ?5π??5π??π?∴f?3?＝f?3－2π?＝f?－3?， ??????∵f(x)是R上的偶函数， ?π??π?π3????∴f－3＝f3＝sin 3＝2. ?????5π?3∴f?3?＝2. ??

?5π??5ππ?

变式训练3 解 f?－6?＝f?－6＋2?

????

?π??π?

＝f?－3?＝－f?3?＝－1. ????课时作业

π???π?

1．B [∵sin?2x－2?＝－sin?2－2x?＝－cos 2x，

????

∴f(x)＝－cos 2x.

又f(－x)＝－cos(－2x)＝－cos 2x＝f(x)， ∴f(x)是最小正周期为π的偶函数．]

2π

2．D [利用公式T＝|ω|.] 3．D [画出y＝sin|x|的图象，易知．]

4．C [当θ＝π时，y＝sin(x＋π)＝sin x是奇函数，故选C.]

15π?π??2?2x

5．A [∵f(x)＝7sin?3x＋2?＝7sin?3＋7π＋2?

????

?π2x?2x??＋＝－7sin23＝－7cos 3， ??2π2π

∴T＝w＝2＝3π，f(x)为偶函数．]

3

6．±3

2π2π

解析 |ω|＝3，∴|ω|＝3，∴ω＝±3. 7．f(x)＝sin|x|

解析 当x<0时，－x>0，f(－x)＝sin(－x) ＝－sin x，

∵f(－x)＝f(x)，∴x<0时，f(x)＝－sin x. ∴x∈R，f(x)＝sin|x|.

8．①④

π

解析 易知②③成立，令φ＝2，f(x)＝cos x是偶函数，①④都不成立．

9．解 ∵sin x＋1＋sin2x≥sin x＋1≥0， 若两处等号同时取到，则sin x＝0且sin x＝－1矛盾，∴对x∈R都有sin x＋1＋sin2x>0.

∵f(－x)＝ln(－sin x＋1＋sin2x)

＝ln(1＋sin2x－sin x)＝ln(1＋sin2x＋sin x)－1 ＝－ln(sin x＋1＋sin2x)＝－f(x)， ∴f(x)为奇函数．

2π2π3π3π

10．解 ∵k>0，∴k＋2k＝k＝2，

π????2x＋∴k＝2，∴f(x)＝asin3?， ?π??

g(x)＝bcos?4x－3?，

??

π??π??3

∴f?2?＝asin?π＋3?＝－2a， ????

π?1?π??

????2π－g2＝bcos3?＝2b， ???

π??π??1

g?4?＝bcos?π－3?＝－2b， ?????π??ππ?1??f4＝asin?2＋3?＝2a. ????

由题意，a，b满足方程组

??13

?2a＝2b＋1

31－2a＝2b

?，∴?3

?b＝－2

1a＝2

.

13

∴k＝2，a＝2，b＝－2.