初一数学竞赛培训（上）

111????1.3435100111记S?????,那么34351002S?111?111?34?35???100???100?99???34??.???11??11??1?134134134?34?100?????35?99??????1?100?34???35?99?35?99???100?34. ??677?r??67?r??67?67?r2?67?67,?2S?13413413467???67????67???67????2,????67????67?67个即S?1.

2.添加括号

例3 计算S=1-2+3-4+?+??1?n?1?n

分析 不难看出这个算式的规律——任何相邻两项之和或为“1”或为“-1”.如果按照将1、2项，3、4项，?，分别编组的方式计算，就能得到一系列的“-1”，于是一改“去括号”的习惯而取“加括号”之法得 S=（1-2）+（3-4）+?+??1?n?1n.

??n(????2n为偶数)?n?1??2(n为奇数) 比“加括号”更一般的思想方法是“分组求和”.

例4 在七数-1，-2，-3，1，2，3，4中任选一个数、两个数手只、三个数的积、?、

七个数的积，试求它们的和. 解（1）任选一个数的和：

1+（-1）+2+（-2）+33(-3)+4=4.

(2)任选二个数的积(由于43(-3)与433,?成对出现,这些积的和为0)的和为: 13(-1)+23(-2)+33(-3)=-14.

（3）.任选三个数的积(由于43(-3)3(-2)与4333(-2),?成对出现，这些积的

和为0)的和为：4313（-1）+4323（-2）+4333（-3）=-56. （4）任选四、五、六、七个数的积的和分别为：

13（-1）323（-2）+23（-2）33 3（-3）+13（-1）333（-3）=49；

13

13（-1）323（-2）34+23（-2）333（-3）34+（-1）333（-3）3431=196 132333（-1）3（-2）3（-3）=-36； 132333（-1）3（-2）3（-3）34=144. 所以，所求的和为-1. 3.一分为二

例5 （1978年上海中学生数学竞赛题）比较

Sn?1234n??????n248162（n为任

意自然数）与2的大小.

分析 关键是将Sn写成宜于与2比较的简单的式子（直接的计算几乎不可能）.现依

次称Sn的各项分别为第1项，第2项，?，第n项，对第k项变形

k2(k?1)?(k?2)k?1k?2??k?1?k,2k2k22这说明Sn中每一项都可以\裂\为正负两项,这时33445n?1n?2n?2Sn?(2?)?(?)?(?)???(n?1?n)?2?n,

22448222自然有Sn?2.4.画一个图

为了求和 S＇=1+2+?+10，

可作一个阶梯形（如图1-1中阴影部分），图中每个小方格为一个面积单位，可见S＇为阶梯形的面积，将两个同样的阶梯形拼在一起得一个11310的矩形，此矩形面积的一半即S＇.仿此可以求例1中的S，画图的好处由此可见一斑.

例6（第19届国际数学竞赛题）有限个实数（可以重复）按一定顺序排成一列， 任意连续七个数之和为负，任意连续十一个数之和为正，确定这些实数最多有

几个，分析文字信息有使人坠入五里雾中之感，将这有限个实数依次编号为①、②，?，如图1-2所示.把图中的数字同时向前挪一位，挪二位，?，便可以看出，从第12个数起，任意连续三数之和为负；从第15个数起，每一个数都为正，因编号为15、16、17的三个正数之和不可能是负的，故这些实数最多有16个，例如可以验证（）

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5，5，-13，5，5，5，-13，5， 5，-13，5，5，5，-13，5，5

这一列数满足题设条件，表可以看成是一种特殊的图.

例7，对于 n个连续的自然数1，2，3，?，n，作出其一切可能的和数（被加数的个数

1从1到n），证明得到的和数中至少有2n(n?1)个两两互不相同，

1分析 从2n(n?1)1联想到例1的推广了的结论，即2n(n?1)=1+2+?+n，

触发猜想：所述和数至少可以分成n批，第一批一个，第二批两个，?，第n批n

个，则问题获得解决，

注意到1＜2＜3＜?＜n-1＜n，取出若干和数列成下表：

1此表中恰有2n(n?1)个和数，显然它们两两互不相等.

练 习： 1.填空题

（1）1+2-3+4+5-6+7+8-9+?+97+98-99等于_______. （2）1至100所有不能被9整除的自然数的和等于_______.

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2（3）计算：（12?22?32?42???992?1002?101等于_____.

（4）计算：

1?12??123??1234?????????????????? 2?33??444??5555?25859??1????????等于______.60606060??2.选择题 (1)乘积?1???1??1??1??1?等于( ). 1??1?1????2?2??2?22??3??9??10?(A)

51117 (B) (C) (D) 1222010(2)(第36届美国中学数学竞赛题)从和式

111111?????中,必须除去( ),才能使余下的项的和等于1 24681012(A)

11111111和 (B)和(C)和(D)和 412812610810111111143???的数组（a、b、c）有（ ）个. abC210(3)设a、b、c为互相等的整数，满足

（A）2 （B）无数多 （C）1 （D）3 （4）分母是1001的最简真分数共有（ ）个.

（A）720 （B）693 （C）692 （D）721 3.求和S=121+22221+3232221+?n2n(n-1)?2221. 4.一串数：

1211232112343211;,,;,,,,,,,,,,,;?中， 222333334444444（1）

7是第几个分数？ 10（2）第400个分数是几分之几？

5.（1）8个乒乓球队员进行循环赛，需要比赛多少场？

（2）从全班50名学生中，选出三人分别担任班长、学习委员、文娱委员的选法有多

少种？

6.已知(x?1)?(y?2)?0,

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