学而思高中数学3-均值不等式的应用

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均值不等式的应用

典例分析

【例1】 若x?0，则y?x?

【例2】 设a?b?c?0，则2a2?

4的最小值是___________． x11??10ac?25c2的最小值是（ ） aba(a?b)A．2 B．4 C．25 D．5

【例3】 若A,B,C为△ABC的三个内角，则

41的最小值为 ． ?AB?C板块三.均值不等式的应用

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【例4】 设a?0,b?0,a?b?ab?24，则（ ）

A．a?b有最大值8 B．a?b有最小值8 C．ab有最大值8 D．ab有最小值8

【例5】 已知：a、b?R?（其中R?表示正实数），

a2?b2a2?b22(a2?ab?b2)a?ba?ab?b2求证： ≥≥≥≥≥ab≥．11a?b23(a?b)23?ab

【例6】 设a,b,c?0，求证：a3?b3?c3≥3abc，当且仅当a?b?c时等号成立，

a2?b2?c2a?b?c33进一步证明：，当且仅当a?b?c时≥≥abc≥11133??abc各等号成立．

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【例7】 经过长期观测得到：在交通繁忙的时段内，某公路段汽车的车流量y（千辆/

小时）与汽车的平均速度v（千米/小时）之间的函数关系为：

920v(v?0)．

v2?3v?1600⑴在该时段内，当汽车的平均速度v为多少时，车流量最大？最大车流量为多少？（精确到0.1千辆/小时）

⑵若要求在该时段内车流量超过10千辆/小时，则汽车的平均速度应在什么范围内？ y?

【例8】 某种汽车购车费用是10万元，每年使用的保险费、养路费、汽油费和约为0.9万

元，年维修费第一年是0.2万元，以后逐年递增0.2万元．问这种汽车使用多少年报废最合算?(最佳报废时间也就是年平均费用最低的时间)

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【例9】 如图，要设计一张矩形广告，该广告含有大小相等的左右两个矩形栏目（即图

中阴影部分），这两栏的面积之和为18000cm2，四周空白的宽度为10cm，两栏之间的中缝空白的宽度为5cm，怎样确定广告的高与宽的尺寸（单位：cm），能使矩形广告面积最小？

【例10】 如图，为处理含有某种杂质的污水，要制造一底宽为2米的无盖长方体沉淀

箱．污水从A 孔流入，经沉淀后从B孔流出．设箱体长度为a米，高度为b米．已知流出的水中，杂质的质量分数与a,b的乘积ab成反比．现有制箱材料

60平方米，问当a,b各为多少米时，经沉淀后流出的水中该杂质的质量分数最

小(A,B孔的面积忽略不计)

ABba2

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