数学五年级思维训练

第十册思维训练专题（三） 奇数和偶数

同学们，整数可以分成奇数和偶数两大类，能被2整除的数叫做偶数，不能被2整除的数叫做奇数。奇数与偶数的运算性质有5条： 性质1：偶数±偶数=偶数， 奇数±奇数=偶数。 性质2：偶数±奇数=奇数。 性质3：偶数个奇数相加得偶数。 性质4：奇数个奇数相加得奇数。

性质5：偶数×奇数=偶数， 奇数×奇数=奇数。

例1： 1+2+3+?+1993的和是奇数？还是偶数？

[解题招术]

∵1993÷2=996?1，

∴1～1993的自然数中，有996个偶数，有997个奇数。 ∵996个偶数之和一定是偶数， 又∵奇数个奇数之和是奇数， ∴997个奇数之和是奇数。 因为，偶数+奇数=奇数， 所以原式之和一定是奇数。

例2：某校五年级学生参加区数学竞赛，试题共40道，评分标准是：答对一题给3分，答错一题倒扣1分.某题不答给1分，请说明该校五年级参赛学生得分总和一定是偶数。

[解题招术]

对每个学生来说，40道题都答对共得120分，是个偶数.如果答错一道，相当于从120分中扣4分.不论答错多少道，扣分的总数应是4的倍数，即扣偶数分，从120里减去偶数.差仍是偶数。同样，如果有某题不答，应从120里减去（3-1）分.不论有多少道题没答，扣分的总数是2的倍数，也是偶数。所以从120里减去偶数，差仍是偶数。因此，每个学生得分数是偶数，那么全年级参赛学生得分总和也一定是偶数；

[小试身手]

（1） ①自然数中，前10个奇数之和是偶数还是奇数？

②自然数中，前11个奇数之和是偶数还是奇数？ ③前100个自然数的和是奇数还是偶数？

（2） 元旦前夕，同学们相互送贺年卡.每人只要接到对方贺年卡就一定回赠贺

年卡，那么送了奇数张贺年卡的人数是奇数，还是偶数？为什么？

（3）张师傅因工作忙，六天没回家，回家后一次撕下这六天的日历，这六天日的数字相加的和是63，问张师傅回家这天是几号？

（4）1+2×3+4×5+6×7+??+100×101的和是奇数还是偶数？

（5）有的电影院的座位号码是单号与单号相邻，双号与双号相邻。

①一个人拿了三张单号的电影票，这三个号码相加之和等于9，问这三个座位分别是几号？

②若三张号码相加之和等于15呢，三个座位各是几号？ ③若三张号码相加之和等于21呢，三个座位各是几号？

（6）三个连续偶数的和比其中最大的偶数大18，这三个连续偶数分别是多少？

（7）桌上有9只杯子，全部口朝上，每次将其中6只同时“翻转”.请说明：无论经过多少次这样的“翻转”，都不能使9只杯子全部口朝下。

（8）在8至2008这些自然数中，从奇数与偶数中各取一个数相加，可以得到多少个不相同的和?

[挑战自我]

（9）有100个自然数，他们的和是10000，其中这些自然数中奇数的个数比偶数多，问：偶数至少有多少个？

（10）假设n盏有拉线开关的灯亮着，规定每次拉动（n-1）个开关，能否把所有的灯都关上？请证明此结论，或给出一种关灯的办法。

（11）如下页图，从起点始，隔一米种一棵树，如果把三块“爱护树木”的小牌分别挂在三棵树上，那么不管怎样挂，至少有两棵挂牌的树，它们之间的距离是偶数（以米为单位），这是为什么？

（12）某学校一年级一班共有25名同学，教室座位恰好排成5行，每行5个座位.把每一个座位的前、后、左、右的座位叫做原座位的邻位.问：让这25个学生都离开原座位坐到原座位的邻位，是否可行？

（13）能否用1， 2， 3， 4， 5， 6六个数码组成一个没有重复数字，且能被11整除的六位数？为什么？

[训练一得]

灵活运用奇数与偶数的5条性质，我们可以巧妙地解决许多实际问题。

参考答案

（1）①偶数，②奇数，③偶数；（2）偶数；

（3）题目告诉我们，张师傅撕下的六张日历的日期数字之和是63，而日历上的连续6天在数学上就是六个连续的自然数，因此，原题目换一种表达方式就是：已知六个连续自然数的和是63，问比这六个自然数中最大的一个数多1的数是几。六个连续自然数的和是63，则中间两个数相加的和是63÷3＝21，中间两个数为连续自然数，则小的那个数是（21－1）÷2＝10，大的那个数就是21－10＝11，那么这六个数分别为8，9，10，11，12，13，最大的那个数为13，可知张师傅回家那天是14号；

（4）我们仔细观察题中已给的式子，就会发现，从第2个加数起，每个加数为两数之积，而且其中有一个因数为偶数，所以从第2项起的每个加数为偶数，这样从第二项起的总和为偶数。又因为第一个加数为奇数，根据“奇数+偶数=奇数”可知，整个式子的最后结果是奇数； （5）① 1 3 5 ② 3 5 7 ③ 5 7 9；

（6）“三个连续偶数的和比其中最大的偶数大18”的含义实际就是较小的两个连续偶数的和是18。而连续偶数之间相差2，因此：较小的两个连续偶数为18÷2-1=8 18÷2+1=10 所以这三个连续偶数为8 10 12；

（7）要使一只杯子口朝下，必须经过奇数次“翻转”，要使9只杯子口全朝下，必须经过9个奇数之和次“翻转”，即“翻转”的总次数为奇数.但是，按规定每次翻转6只杯子，无论经过多少次“翻转”，翻转的总次数只能是偶数次.因此无论经过多少次“翻转”，都不能使9只杯子全部口朝下；

（8）最小的和是8+9=17，最大的和是2008+2007=4015，这些不同和的个数即是17至4015中所有的奇数的个数，即8+9=17，2008+2007=4015，（4015-17）÷2+1=2000（个）；

（9）假如这100个自然数都是奇数。100个奇数的和是偶数（其和是10000），

而这个题目中强调“奇数比偶数多”，说明肯定有偶数，不可能没有偶数；2、假如有1个偶数，那么奇数是99个； 99个奇数的和该是奇数而（99个奇数的和）这个奇数+1个偶数，其和必定是奇数，不可能是10000（偶数）3、假如有2个偶数，那么奇数是98个；98个奇数和该是偶数而（98个奇数的和）这个偶数+2个偶数，其和必定是偶数，而这100个自然数的和是10000（偶数）。所以，至少有2个偶数。

（10）当n为奇数时，不能按规定将所有的灯关上。 因为要关上一盏灯，必须经过奇数次拉动它的开关。