2020高考数学《圆锥曲线》专题

C． D．

【解答】解：双曲线（a＞0，b＞0）的顶点为（±a，0），

渐近线方程为bx﹣ay＝0，bx+ay＝0， 由题意可得

＝

，即为9a2b2＝20（a2+b2），①

双曲线的焦点设为（﹣c，0），（c，0）， 由题意可得

＝

＝b＝

，②

由①②可得a＝2，b＝则双曲线的方程为故选：B． 4．设F1，F2是椭圆m的取值范围是（ ） A．（0，1]∪[8，+∞） C．（0，1]∪[2，+∞）

﹣

， ＝1．

的两个焦点，若C上存在点P满足∠F1PF2＝90°，则

B．（0，2]∪[8，+∞） D．（0，2]∪[16，+∞）

【解答】解：①若焦点在x轴上时，C点为椭圆短轴的端点时，∠F1PF2取得最大角，设θ＝∠F1PF2， 则cos

＝

，∴cosθ＝2

﹣1＝

≤0，解得0＜m≤2．

②若焦点在y轴上时，C点为椭圆短轴的端点时，∠F1PF2取得最大角，设θ＝∠F1PF2， 则cos

＝

，∴cosθ＝2

﹣1＝

≤0，解得m≥8．

综上可得：m的取值范围是（0，2]∪[8，+∞）． 故选：B． 5．已知双曲线

＝1的一条渐近线与椭圆C：

＝1（a＞b＞0）在第一象限的

交点为P，F1，F2为椭圆C的左、右焦点，若∠F1PF2＝60°，则椭圆C的离心率为（ ）

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A． B． C． D．

【解答】解：设双曲线＝1的一条渐近线方程为y＝x，

代入椭圆方程可得P（，），

设|PF1|＝m，|PF2|＝n，可得m+n＝2a， 由余弦定理可得（2c）2＝m2+n2﹣2mncos60°， 化为（m+n）2﹣2mn﹣mn＝4c2，即为mn＝b2， 则S又S

＝mnsin60°＝＝?2c?|yP|＝

b2，

，

可得

b2＝，结合b2＝a2﹣c2，

化为7a4﹣22c2a2+3c4＝0， 可得a2＝3c2或c2＝7a2（舍去）， 则e＝＝故选：A． 6．双曲线

＝1（a＞0，b＞0），F1，F2为其左、右焦点，线段F2A垂直直线y＝x，．

垂足为点A，与双曲线交于点B，若A．

B．2

＝，则该双曲线的离心率为（ ） C．3

D．

【解答】解：线段F2A垂直直线y＝x，且F2（c，0）， 可设直线F2A的方程为y＝﹣（x﹣c）， 与直线y＝x的交点为A（若

＝

，

），

，

），

，则B为线段F2A的中点，则B（

﹣

＝1，

代入双曲线的方程可得

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化为c2＝2a2，即e＝＝故选：A．

二．填空题（共4小题） 7．椭圆是

．

上任意两点P、Q，O为坐标原点，若PO⊥QO，则|OP|?|OQ|的最小值

，此时，|OP|＝

．

），|OQ|sin（θ±

【解答】解：题意可设点P（|OP|cosθ，|OP|sinθ），Q（|OQ|cos（θ±

）），

由P、Q在椭圆上，得：，①

，②

①+②得：∴

得|OP|?|OQ|

＝

， ，

（当且仅当|OP|＝|OQ|＝

． ．

时“＝”成立），

∴|OP|?|OQ|的最小值为故答案为：

；

8．F1是双曲线﹣＝1（a＞0，b＞0）的左焦点，A为虚轴一端点，若以A为圆心的

圆与双曲线的一条渐近线相切于点B，且A，B，F1三点共线，则双曲线的离心率为

．

【解答】解：设F1（﹣c，0），A（0，b）， 双曲线的一条渐近线方程为bx+ay＝0， 由题意可得直线AB的斜率为， 由A，B，F1三点共线，可得：

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k＝＝，

即ac＝b2＝c2﹣a2，

由e＝，可得e2﹣e﹣1＝0， 解得e＝故答案为：

，（负的舍去）， ．

9．已知抛物线y2＝2mx与椭圆点，若

，则此椭圆的离心率为

．

有相同的焦点F，P是两曲线的公共

【解答】解：设P（又c＝，∴y2＝∵点P在椭圆上， ∴

+

，y），由抛物线的定义可得：+＝

，化为：y2＝

，

．

＝1，即+

＝1，b2＝a2﹣c2．

化为：4c4﹣37a2c2+9a2＝0， ∴4e4﹣37e2+9＝0， 解得e2＝或9， ∵e∈（0，1）， 解得e＝． 故答案为：．

10．已知P为椭圆+

＝1上的一个动点，过点P作圆（x﹣1）2+y2＝1的两条切线，

．

切点分别是A，B，则|AB|的最小值为

【解答】解：连接PC，交AB于H，可得H为AB的中点， 圆（x﹣1）2+y2＝1的圆心C（1，0），半径r＝1， 连接AC，BC，可得AC⊥PA，BC⊥PB，

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