1-2-1-3等差数列应用题 题库版

等差数列应用题

例题精讲

【例 1】 体育课上老师指挥大家排成一排，冬冬站排头，阿奇站排尾，从排头到排尾依次报数。如果冬

冬报17，阿奇报150，每位同学报的数都比前一位多7，那么队伍里一共有多少人？

【考点】等差数列应用题 【难度】2星 【题型】解答 【解析】 首项=17，末项=150，公差=7，项数=（150-17）÷7+1=20 【答案】20

【例 2】 一个队列按照每排2，4，6，8人的顺序可以一直排到某一排有100人 ，那么这个队列共有多

少人？

【考点】等差数列应用题 【难度】2星 【题型】解答 【解析】 （方法一）利用等差数列求和公式：通过例1的学习可以知道，这个数列一共有50个数，再将

和为102的两个数一一配对，可配成25对． 所以2?4?6??96?98?100=（2+100）?25=103?25=2550

（方法二）根据1?2?3??98?99?100?5050，从这个和中减去1?3?5?7?...?99的和，就可得出此题的结果，这样从“反面求解”的思想可以给学生灌输一下，为今后的学习作铺垫．

【答案】2550

【例 3】 有一个很神秘的地方，那里有很多的雕塑，每个雕塑都是由蝴蝶组成的．第一个雕塑有3只蝴

蝶，第二个雕塑有5只蝴蝶，第三个雕塑有7只蝴蝶，第四个雕塑有9只蝴蝶，以后的雕塑按照这样的规律一直延伸到很远的地方，学学和思思看不到这排雕塑的尽头在哪里，那么，第102个雕塑是由多少只蝴蝶组成的呢？由999只蝴蝶组成的雕塑是第多少个呢？

【考点】等差数列应用题 【难度】2星 【题型】解答 【解析】 也就是已知一个数列：3、5、7、9、11、13、15、…… ，求这个数列的第102项是多少？999是

第几项？由刚刚推导出的公式——第n项?首项?公差（， ?n?1）所以，第102项?3?2?（102-1）?205；由“项数?(末项?首项)?公差?1”，999所处的项数是：

（999?3）?2?1?996?2?1?498?1?499 【答案】499

【巩固】 有一堆粗细均匀的圆木，堆成梯形，最上面的一层有5根圆木，每向下一层增加一根，一共堆了

28层．问最下面一层有多少根?

【考点】等差数列应用题 【难度】2星 【题型】解答 【解析】 将每层圆木根数写出来，依次是：5，6，7，8，9，10，…可以看出，这是一个等差数列，它的

首项是5，公差是1，项数是28．求的是第28项．我们可以用通项公式直接计算． 解： an?a1?(n?1)?d

?5?(28?1)?1 ?32(根)

故最下面的一层有32根．

【答案】32

【巩固】 建筑工地有一批砖，码成如右图形状，最上层两块砖，第2层6块砖，第3层10块砖…，依次

每层都比其上面一层多4块砖，已知最下层2106块砖，问中间一层多少块砖？这堆砖共有多少块？

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【考点】等差数列应用题 【难度】2星 【题型】解答 【解析】 项数=（2106-2）÷4+1=527，因此，层数为奇数，中间项为（2+2106）÷2=1054，数列和=中间项

×项数=1054×527=555458，所以中间一层有1054块砖，这堆砖共有555458块。

【答案】555458

【例 4】 一个建筑工地旁，堆着一些钢管（如图），聪明的小朋友，你能算出这堆钢管一共有多少根吗？

【考点】等差数列应用题 【难度】3星 【题型】解答 【解析】 (方法一）不难发现，这堆钢管每一层都比上一层多1根，也就是从上到下每层钢管的数量构成

了一个等差数列，而且首项为3，末项为10，项数为8．由等差数列求和公式可以求出这堆钢管的总数量：（3?10）?8?2?52（根）

（方法二）我们可以这样假想：通过对几何图形进行旋转，从而达到配对的目的是解决问题的关键（如图）

这个槽内的钢管共有8层，每层都有3?10?13（根），所以槽内钢管的总数为：（3?10）?8?104 （根）．取它的一半，可知例题图中的钢管总数为：104?2?52（根）

【答案】52

【巩固】 某剧院有20排座位，后一排都比前一排多2个座位，最后一排有70个座位，这个剧院一共有多

少个座位？

【考点】等差数列应用题 【难度】2星 【题型】解答 【解析】 第一排座位数：70?2?(20?1)?32（个），一共有座位：(32?70)?20?2?1020（个）． 【答案】1020

【巩固】 一个大剧院，座位排列成的形状像是一个梯形，而且第一排有10个座位，第二排有12个座位，

第三排有14个座位，……最后一排他们数了一下，一共有210个座位，思考一下，剧院中间一排有多少个座位呢？这个剧院一共有多少个座位呢?

【考点】等差数列应用题 【难度】2星 【题型】解答 【解析】 如果我们把每排的座位数依次记下来，10、12、14、16、… 容易知道，是一个等差数列．210

是第n?排，中间一排就是第（210?10）?2?1?101（101?1）?2?51排，那么中间一排有：10?（51?1）?2?110（个）座位．根据刚刚学过的中项定理，这个剧场一共有：110?101?11110（块）．

【答案】11110

【例 5】 一辆双层公共汽车有66个座位，空车出发，第一站上一位乘客，第二站上两位乘客，第三站上

三位乘客，依此类推，第几站后，车上坐满乘客？

【考点】等差数列应用题 【难度】2星 【题型】解答 【解析】 通过尝试可得：1?2?3??11?（1?11）?11?2?66，即第11站后，车上坐满乘客．记住自然

数1~10的和对于解一些应用题很有帮助，需要尝试求解时能够较快找到大概的数．

【答案】11

【例 6】 时钟在每个整点敲打，敲打的次数等于该钟点数，每半点钟敲一下．问：时钟一昼夜打多少下？

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【考点】等差数列应用题 【难度】3星 【题型】解答 【解析】 时钟每个白天敲打的次数是每个整点敲打次数的和加上12个半点敲打的一下，即：

， （1?2?3??12）?12?（1?12)?12?2?12?78?12?90（下）

所以一昼夜时钟一共敲打：90?2?180（下）．

【答案】180

【例 7】 已知：a?1?3?5??99?101，b?2?4?6??98?100，则a、b两个数中，较大的数比

较小的数大多少？

【考点】等差数列应用题 【难度】3星 【题型】解答 【解析】 （方法一）计算：a?（1?101）?51?2?2601，b?（2?100）?50?2?2550，所以a比b大，大

2601?2550?51．

（方法二）通过观察，a中的加数从第二个数起依次比b中的加数大1，所以a比b大，

a?b?1?（3?2）?（5?4）??（99?98）?（101?100）?51

【答案】51

【例 8】 小明进行加法珠算练习，用1?2?3?4?，当加到某个数时，和是1000．在验算时发现重复

加了一个数，这个数是多少？

【考点】等差数列应用题 【难度】2星 【题型】解答 【关键词】第十一届，迎春杯 【解析】 通过尝试可以得到1?2?3??44?（1?44）?44?2?990．于是，重复计算的数是

1000?990?10．

【答案】10

【例 9】 编号为1~9的9个盒子里共放有351粒糖，已知每个盒子都比前一个盒子里多同样数量的糖．如

果1号盒子里放11粒糖，那么后面的盒子比它前一个盒子里多放几粒糖？

【考点】等差数列应用题 【难度】3星 【题型】解答 【解析】 根据题意，灵活运用有关等差数列的求和公式进行分析与解答．

由等差数列求和公式“和?（首项?末项）?项数?2”，可得：末项?和?2?项数?首项． 则第9个盒子中糖果的粒数为：351?2?9?11?67（粒） 题目所求即公差?，则后面盒子比前一个盒子多放7粒糖． （67?11）?（9?1）?56?8?7（粒）

【答案】7

【巩固】 例题中已知如果改为3号盒子里放了23粒糖呢？

【考点】等差数列应用题 【难度】3星 【题型】解答 【解析】 等差数列有个规律：首项?末项?第2项?倒数第2项?第3项?倒数第3项?，所以我们可

以得到等差数列求和公式的一个变形，假设等差数列有n项，则和?（第a项?第n?a?1项

个盒子中糖果的粒数为：351?2?9?23?55（粒） ）?n?2，则倒数第3个盒子即第（9?3?1）题目所求即公差?，则后面盒子比前一个盒子多放8粒糖． （55?23）?（7?3）?32?4?8（粒）

【答案】8

【例 10】 小王和小高同时开始工作。小王第一个月得到1000元工资，以后每月多得60元；小高第一个

月得到500元工资，以后每月多得45元。两人工作一年后，所得的工资总数相差多少元？

【考点】等差数列应用题 【难度】3星 【题型】解答 【解析】 小王：1000+60×（12-1）=1660，（1000+1660）×12÷2=15960

小高：500+45×（12-1）=995，（500+995）×12÷2=8970，15960-8970=6990 即一年后两人所得工资总数相差6990元。

【答案】6990

【巩固】 王芳大学毕业找工作。她找了两家公司，都要求签工作五年的合同，年薪开始都是一万元，但两

个公司加薪的方式不同。甲公司承诺每年加薪1000元，乙公司答应每半年加薪300元。以五年计算，王芳应聘 公司工作收入更高。

【考点】等差数列应用题 【难度】3星 【题型】解答 【关键词】2007年，第5届，走美杯，3年级，决赛

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【解析】 甲公司五年之内王芳得到的收入为：10000?11000?12000?13000?14000?60000(元)．

乙公司五年之内王芳得到的收入为：10000?5?300?600?900?1200??300?9?50000?300 ?45?63500(元)．所以，王芳应聘乙公司工作收入更高．

【答案】63500

【例 11】 在一次数学竞赛中，获得一等奖的八名同学的分数恰好构成等差数列，总分为656，且第一名

的分数超过了90分（满分为100分）。已知同学们的分数都是整数，那么第三名的分数是多少？

【考点】等差数列应用题 【难度】2星 【题型】解答 【解析】 他们的平均分为656÷8=82

82+1、82+2、82+3……都有可能成为第四名，相对应的，公差分别为1×2=2、2×2=4、3×2=6…… 若第四名为82+1=83分，则第一名为83+（4-1）×2=89分，不符合题意，舍； 若第四名为82+2=84分，则第一名为84+（4-1）×4=96分，不符合题意； 若第四名为82+3=85分，则第一名为85+（4-1）×6=103分，不符合题意。 因此，第四名为84分，公差为4，所以第三名为84+4=88分

【答案】88

【例 12】 若干个同样的盒子排成一排，小明把50多个同样的棋子分装在盒中，其中只有一个盒子没有装

棋子，然后他外出了，小光从每个有棋子的盒子里各拿了一个棋子放在空盒内，再把盒子重新排了一下，小明回来后仔细查看了一下，没有发现有人动过这些盒子和棋子．共有多少个盒子？

【考点】等差数列应用题 【难度】3星 【题型】解答 【解析】 这道看似蹊跷的题想要求出共有多少个盒子，必须先弄清楚小明盒子中的棋子是怎样放的．

我们设除了空盒子以外一共有n个盒子．小明回来查看时，原来那个空盒子现在不空了，但是小明却没有发现有人动过这些盒子和棋子，那么一定是有另一个盒子现在变成了空盒子．这样，原来小明放置棋子时必有一个盒子只装着一个棋子．

原来只装着一个棋子的盒子变成了空盒子以后，还需要一个盒子装一个棋子来代替它，那么这个代替它的盒子原来一定只装着2个棋子，依此类推，可以推断出小明所放的棋子依次是0，1，2，3，，n．

根据这个等差数列的和等于50多，通过尝试求出当n?10时，1?2?3??（10?）1?10? 1??满足题意，其余均不满足．这样，只能是n?10，即共有11个盒子．

【答案】11

【例 13】 某工厂12月份工作忙，星期日不休息，而且从第一天开始，每天都从总厂陆续派相同人数的工

人到分厂工作，直到月底，总厂还剩工人250人．如果月底统计总厂工人的工作量是9455个工作日（1人工作1天为1个工作日），且无1人缺勤．那么这月由总厂派到分厂工作的工人共有多少人．

【考点】等差数列应用题 【难度】3星 【题型】解答 【关键词】第九届，迎春杯，决赛 【解析】 260人工作31天，工作量是260?31?8060（个）工作日．假设每天从总厂派到分厂a个工人，

第一天派去分厂的a个工人在总厂的工作量为0个工作日； 第二天派去分厂的a个工人在总厂的工作量为a个工作日； 第三天派去分厂的a个工人在总厂的工作量为2a个工作日； ……

第31天派去分厂的a个工人在总厂的工作量为30a个工作日． 从而有：9455?0?a?2a?3a??30a?8060 9455?8060?a?（1?2?3??30）

1395?a?（1?30）?30?2?465a求得a?3．那么这月由总厂派到分厂工作的工人共有3?31?93（人）．

【答案】93 【例 14】 右图中，每个最小的等边三角形的面积是12平方厘米，边长是1根火柴棍．如果最大的三角形

共有8层，问：⑴最大三角形的面积是多少平方厘米？⑵整个图形由多少根火柴棍摆成？

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