高考数学一轮总复习 1.3简单的逻辑联结词、全称量词与存在量词练习

第三节 简单的逻辑联结词、全称量词与存在量词

时间：45分钟 分值：100分

基 础 必 做

一、选择题

1．如果命题“綈(p∨q)”是假命题，那么正确的是( ) A．p，q均为真命题

B．p，q中至少有一个为真命题 C．p，q均为假命题

D．p，q中至多有一个为真命题 解析 由题意知，p∨q为真命题， 所以p，q中至少有一个为真命题． 答案 B

?1?*

2．已知命题p：若x∈N，则x∈Z.命题q：?x0∈R，??x0－1＝0.则下列命题为真命

?2?

题的是( )

A．綈p C．綈p∨q

B．p∧q D．綈p∨綈q

?1?x－1

解析 显然命题p为真；因为对?x∈R，都有??>0，所以命题q为假，所以綈q为

?2?

真，由“或”“且”“非”命题的真值表知D正确．

答案 D

3．“对x∈R，关于x的不等式f(x)>0有解”等价于( ) A．?x0∈R，使得f(x0)>0成立 B．?x0∈R，使得f(x0)≤0成立 C．?x∈R，总有f(x)>0成立 D．?x∈R，总有f(x)≤0成立

解析 “对x∈R，关于x的不等式f(x)>0有解”的意思就是?x0∈R，使得f(x0)>0成立，故选A.

答案 A

4．(2015·烟台模拟)下列命题的否定为假命题的是( ) A．?x0∈(－∞，0)，使得2x0<3x0 B．任意一个四边形的四个顶点共圆 C．所有能被3整除的整数都是奇数 D．?x∈R，sinx＋cosx＝1

1

2

2

解析 对于A，?x∈(－∞，0)，总有2>3成立，故A假；对于B，一般平行四边形的四个顶点就不共圆，所以B假；对于C,6能被3整除但不是奇数；D显然正确．综上应选D.

答案 D

5．已知a>0，且a≠1，命题p：函数y＝loga(x＋1)在x∈(0，＋∞)内单调递减，命题

xxq：曲线y＝x2＋(2a－3)x＋1与x轴交于不同的两点．若“p或q”为假，则a的取值范围

为( )

?5?A.?1，? ?2?

1??5??B.?－∞，?∪?1，? 2??2??

?15?C.?，?

?22?

?1??5?D.?，1?∪?，＋∞? ?2??2?

解析 当01时，函数y＝loga(x＋1)在(0，＋∞)内不是单调递减的．若p为假，则a>1.曲线y＝x＋(2a－3)x＋1与

2

??x轴交于不同的两点等价于(2a－3)2－4>0，即a<或a>.若q为假，则a∈?，?.若使“p22

?

?

?15??5?或q”为假，则a∈(1，＋∞)∩?，?，即a∈?1，?.故选A. ?22??2?

答案 A

6．命题“?x∈[1,2]，x－a≤0”为真命题的一个充分不必要条件是( ) A．a≥4 C．a≥5

2

2

1

252

15

B．a≤4 D．a≤5

2

解析 满足命题“?x∈[1,2]，x－a≤0”为真命题的实数a即为不等式x－a≤0在[1,2]上恒成立的a的取值范围，即a≥x在[1,2]上恒成立，即a≥4，要求的是充分不必要条件，因此选项中满足a>4的即为所求，选项C符合要求．

答案 C 二、填空题

7．(2014·临沂模拟)命题“存在实数x0，使x0＋2x0－8＝0”的否定是________________________________________________________________________．

解析 特称命题的否定为全称命题．所以命题的否定是对任意实数x，都有x＋2x－8≠0.

答案 对任意实数x，都有x＋2x－8≠0

8．命题：“对任意k>0，方程x＋x－k＝0有实根”的否定是________．

解析 全称命题的否定是特称命题，故原命题的否定是“存在k>0，方程x＋x－k＝0

2

2

22

2

2

2

无实根．”

答案 存在k>0，方程x＋x－k＝0无实根 9．已知下列结论：

①“p∧q”为真是“p∨q”为真的充分不必要条件； ②“p∧q”为假是“p∨q”为真的充分不必要条件； ③“綈p”为真是“p∧q”为假的必要不充分条件， 其中正确的是________(只填序号)．

解析 p∧q为真时，p，q均为真，此时p∨q一定为真，而p∨q为真时只要p，q至少有一个为真即可，故“p∧q”为真是“p∨q”为真的充分不必要条件，结论①正确；p∧q为假，可能p，q均假，此时p∨q为假，结论②不正确；綈p为真时，p假，此时p∧q一定为假，条件是充分的，但在p∧q为假时，可能p真，此时綈p为假，故“綈p”为真是“p∧q”为假的充分不必要条件，结论③不正确．

答案 ① 三、解答题

10．写出下列命题的否定，并判断真假： (1)q：?x∈R，x不是5x－12＝0的根； (2)r：有些质数是奇数； (3)s：?x∈R，|x|>0.

解 (1)綈q：?x0∈R，x0是5x－12＝0的根，真命题． (2)綈r：每一个质数都不是奇数，假命题． (3)綈s：?x∈R，|x|≤0，假命题．

11．已知c>0，且c≠1，设p：函数y＝c在R上单调递减；q：函数f(x)＝x－2cx＋1

x2

2

?1?在?，＋∞?上为增函数，若“p∧q”为假，“p∨q”为真，求实数c的取值范围． ?2?

解 ∵函数y＝c在R上单调递减，∴0

∵c>0且c≠1，∴綈p：c>1.

1?1?2

又∵f(x)＝x－2cx＋1在?，＋∞?上为增函数，∴c≤. 2?2?11

即q：00且c≠1，∴綈q：c>且c≠1.

22又∵“p∨q”为真，“p∧q”为假，∴p与q一真一假． ①当p真，q假时，

???1

{c|0，且c≠1

??2?

x

?????1

?＝?c?

??

?. ??

3

???1

②当p假，q真时，{c|c>1}∩?c?0

???1

综上所述，实数c的取值范围是?c?

??2?

??

?＝?. ?????. ??

培 优 演 练

1．已知命题p：若t≠3且t≠－3，则t≠9；命题q：x－3x＋2<0的解集是{x|1

①命题“p∧q”是真命题；②命题“p∧(綈q)”是假命题；③命题“(綈p)∨q”是真命题；④命题“(綈p)∨(綈q)”是假命题．其中正确的是( )

A．②③ C．①③④

B．①②④ D．①②③④

2

2

2

解析 命题p不好直接判断真假，因为互为逆否的两个命题同真同假，而若t＝9，则

t＝3或t＝－3为真命题，所以p为真命题．因为命题q是真命题，所以綈p为假命题，(綈p)∨(綈q)为假命题，p∧q为真命题，从而得①②③④都正确．

答案 D

2．甲、乙、丙、丁四人在餐馆聚会，其中有一人买单，当甲的妻子询问是谁买单时，他们的回答如下．甲：不是我买的单；乙：是丁买的单；丙：是乙买的单；丁：不是我买的单．这四个人中只有一个人说了真话，由此可见，您能判定买单的人是( )

A．甲 C．丙

B．乙 D．丁

解析 乙和丁的话是矛盾关系，即乙且丁为假，乙或丁为真，所以乙与丁必有一真必有一假，则甲和丙说的都是假话，故很容易得出答案即买单的人是甲．

答案 A

3．已知函数f(x)＝x＋2x＋a和函数g(x)＝2x＋x＋1，对任意x1∈[－1，＋∞)，总存在x2∈R使g(x1)＝f(x2)成立，则实数a的取值范围是________．

解析 因为f(x)＝x＋2x＋a＝(x＋1)＋a－1， 所以f(x)∈[a－1，＋∞)．

因为g(x)＝2x＋x＋1在[－1，＋∞)上单调递增， 所以g(x)∈[－2，＋∞)．由题意得a－1≤－2， 所以a≤－1，故实数a的取值范围是(－∞，－1]． 答案 (－∞，－1]

?x－x－6≤0，?

4．设命题p：实数x满足x－4ax＋3a<0，其中a>0，命题q：实数x满足?2

??x＋2x－8>0.

2

2

2

2

2

2

(1)若a＝1，且p∧q为真，求实数x的取值范围；

4

(2)綈p是綈q的充分不必要条件，求实数a的取值范围． 解 (1)由x2

－4ax＋3a2

<0， 得(x－3a)(x－a)<0. 又a>0，所以a

当a＝1时，1

2

由???x－x－6≤0，??x2

＋2x－8>0，

解得???

－2≤x≤3，??

x<－4或x>2，

即2

所以q为真时，2

若p∧q为真，则??

?

1

?2

所以实数x的取值范围是(2,3)． (2)因为綈p是綈q的充分不必要条件， 所以q是p的充分不必要条件， 则有(2,3]

(a,3a)．于是满足???

a≤2，??3a>3，

解得1

5