复件 奥林匹克题解三(1)下

第三章、 几何部分

第一节

平面几何证明（下）

C1－136 在△ABC中，AD、BE、CF为角平分线，分别交BC边于D，交AC边于E，交AB边于F．试证明：4S△DEF≤S△ABC，并说明等号何时成立．

【题说】 1982年芜湖市赛题6．

【证】 由题意，只需证明

代入（1）即得

由bc+ac≥2abc，得

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2

1

bc+bc+ac+ac+ab +ab≥6abc

所以 4（bc+bc+ac+ac+ab+ab） ≥3（abc+bc+bc+ac+ab+ab+abc） =3（a+b）（b+c）（c+a）

从而（2）成立，即4S△DEF≤S△ABC，当且仅当△ABC为正三角形时等号成立．

C1-137 如图，在△ABC中，P为边BC上任意一点，PE∥BA，PF∥CA．若S△ABC=1，证明：S△BPE、S△PCE和S

PEAF

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2

2

2

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222222

中至少有一个不小于4／9．

【题说】 1984年全国联赛二试题3．

【证】 把 BC等分为三等分，M、N是分点，显然，P点落在BM或NC上时

则

AE∶AC=r， AF∶AB＝1-r

S△AEF∶S△ABC=（AF／AB）（AE／AC）

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C1-138 设P是一正n边形的内点，证明：该n边形存在两个顶点A和B，使

【题说】 1985年匈牙利阿拉尼·丹尼尔数学竞赛（15年龄组）题1． 【解】 设点A是正n边形的顶点中距P最近的一个顶点．从A出发向某两个相邻顶点B1、B2作连线，并使P在△AB1B2内，显然，∠B1AB2=180°/n．根据顶点A的选取，∠PB1A和∠PB2A都小于∠B1AB2，因此，如果P是△AB1B2的一个内点，则至少有一个Bi，使得

如果P在线段ABi上，例如在AB1上，那么由∠PB2A≤∠PAB2可以推出

C1-139 已知六边形的各边长不超过1，试证：此六边形至少有一条主对角线不超过2．

【题说】 1986年上海市赛二试题2．题中主对角线是六边形中某一顶点与相隔二个顶点的第三顶点的连线．

3

【证】 设ABCDEF是适合题意的六边形，AB、CD、EF三边所在直线，至少有两条，它们的夹角不超过60°（如两线平行，认为夹角为0°），不妨设AB和CD的夹角不超过60°，过 B作 BM

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CD（如图），则DM BC，

且∠ABM=AB与CD的夹角≤60°．AM=AB+BM-2AB·BM·cos∠ABM≤

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AB+BM-AB·BM．由对称性，不妨设BM≥AB，注意到BM=CD≤1，有

AB+BM-AB· BM=BM+AB（AB-BM）≤BM≤1

所以 AM≤1，AM≤1 于是 AD≤AM+MD=AM+BC≤2． C1-140 凸四边形ABCD的面积为S．证明：以AC、AD、BC和

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【题说】 第十三届（1987年）全俄数学奥林匹克九年级题 4．

【证】 设AC、AD、BC、BD的中点分别为K、L、M、N．易知S△MKN≤max（S△BKN，S△CKN），S△LKN≤max（S△AKN，S△DKN）．而有

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