2016-2017学年高中数学 第二章 推理与证明 2.2.2 反证法学业分层测评（含解析）新人教a版选修2-2

2.2.2 反证法

学业分层测评 (建议用时：45分钟)

[学业达标]

一、选择题

1．实数a，b，c不全为0等价于( ) A．a，b，c均不为0 B．a，b，c中至多有一个为0 C．a，b，c中至少有一个为0 D．a，b，c中至少有一个不为0

【解析】 “不全为0”的对立面为“全为0”，故“不全为0”的含义为“至少有一个不为0”．

【答案】 D

2．(2014·山东高考)用反证法证明命题“设a，b为实数，则方程x＋ax＋b＝0至少有一个实根”时，要做的假设是( )

A．方程x＋ax＋b＝0没有实根 B．方程x＋ax＋b＝0至多有一个实根 C．方程x＋ax＋b＝0至多有两个实根 D．方程x＋ax＋b＝0恰好有两个实根

【解析】 依据反证法的要求，即至少有一个的反面是一个也没有，直接写出命题的否定．方程x＋ax＋b＝0至少有一个实根的反面是方程x＋ax＋b＝0没有实根，故应选A.

【答案】 A

3．已知a，b是异面直线，直线c平行于直线a，那么c与b的位置关系为( ) A．一定是异面直线 C．不可能是平行直线

B．一定是相交直线 D．不可能是相交直线

3

3

3333

3

【解析】 假设c∥b，而由c∥a，可得a∥b，这与a，b异面矛盾，故c与b不可能是平行直线，故应选C.

【答案】 C

111

4．设a，b，c大于0，则3个数：a＋，b＋，c＋的值( )

bcaA．都大于2 C．都小于2

B．至少有一个不大于2 D．至少有一个不小于2

111111?1?【解析】 假设a＋，b＋，c＋三个数都小于2，则必有a＋＋b＋＋c＋<6，而?a＋?

bcabca?b?

?1??1??1??1??1?＋?b＋?＋?c＋?＝?a＋?＋?b＋?＋?c＋?≥2?

c??

a??

a??

b??

c?

者相矛盾．所以假设不成立．

【答案】 D

a·＋2

a1

b·＋2b1

c·＝6，故二c1

5．用反证法证明“三角形中最多只有一个内角为钝角”，下列假设中正确的是( ) A．有两个内角是钝角 B．有三个内角是钝角 C．至少有两个内角是钝角 D．没有一个内角是钝角

【解析】 “最多只有一个”的否定是“至少有两个”，故选C. 【答案】 C 二、填空题

6．命题“任意多面体的面至少有一个是三角形或四边形或五边形”的结论的否定是___________________________________________________________．

【解析】 “至少有一个”的否定是“一个也没有”，故结论的否定是：没有一个面是三角形或四边形或五边形．

【答案】 没有一个面是三角形或四边形或五边形

7．设a，b是两个实数，给出下列条件：①a＋b＝1；②a＋b＝2；③a＋b>2；④a＋b>2. 其中能推出“a，b中至少有一个大于1”的条件是________(填序号)． 【解析】 假设a，b均不大于1，即a≤1，b≤1.

则①②④均有可能成立，故①②④不能推出“a，b中至少有一个大于1”，故选③. 【答案】 ③

8．(2016·开原模拟)如果△A1B1C1的三个内角的余弦值分别等于△A2B2C2的三个内角的正弦值，则△A1B1C1和△A2B2C2分别是________．(填三角形的种类)

【解析】 由条件知，△A1B1C1的三个内角的余弦值均大于0，则△A1B1C1是锐角三角形，假设△A2B2C2是锐角三角形．

2

2

???π?由?sin B＝cos B＝sin?－B?，

?2??π－C?，?sin C＝cos C＝sin?2????

2

1

1

2

1

1

?π?sin A2＝cos A1＝sin?－A1?，?2?

??π

得?B＝－B，

2π?C＝?2－C.

A2＝－A1，

2

1

2

1

π2

π

那么，A2＋B2＋C2＝，

2

这与三角形内角和为180°相矛盾．

所以假设不成立，又显然△A2B2C2不是直角三角形， 所以△A2B2C2是钝角三角形． 【答案】 锐角三角形，纯角三角形 三、解答题 9．已知f(x)＝a＋

xx－2

(a>1)，证明：方程f(x)＝0没有负数根． x＋1

【证明】 假设x0是f(x)＝0的负数根， 则x0<0且x0≠－1且ax0＝－由0

x0－2

， x0＋1

x0－2

<1， x0＋1

1

解得

2故方程f(x)＝0没有负数根．

3

10．已知a，b，c∈R，a＋b＋c＝0，abc＝1，求证：a，b，c中至少有一个大于. 23

【证明】 假设a，b，c都小于等于，

2333即a≤，b≤，c≤. 222

∵abc＝1，∴a，b，c三数同为正或一正两负． 又a＋b＋c＝0，

∴a，b，c只能是一正两负， 不妨设a＞0，b＜0，c＜0. 1则b＋c＝－a，bc＝，

a12

∴b，c为方程x＋ax＋＝0的两根，

a423

∴Δ＝a－≥0，即a≥4.

a32733

∴a≥ 4＞＝，这与a≤矛盾，

822

3

3

∴a，b，c中至少有一个大于. 2

[能力提升]

1．下列命题运用“反证法”证明正确的是( )

A．命题：若a>b>0，则a>b.用反证法证明：假设a>b不成立，则ab矛盾．故假设不成立，结论a>b成立

B．命题：已知二次方程ax＋bx＋c＝0(a，b，c∈R，且a≠0)有实根，求证：Δ＝b－4ac≥0.

用反证法证明：假设Δ＝b－4ac<0，则ax＋bx＋c＝0无实根，与已知方程有实根矛盾，∴Δ≥0

C．命题：已知实数p满足不等式(2p＋1)(p＋2)<0，证明：关于x的方程x－2x＋5－

2

2

2

2

2

p2＝0无实数根．用反证法证明：假设方程x2－2x＋5－p2＝0有实数根，由已知实数p满足

122

不等式(2p＋1)(p＋2)<0，解得－2

2Δ＝4(p－4)，

11222

∵－2

24D．命题：已知函数f(x)是(－∞，＋∞)上的增函数，a，b∈R.“若f(a)＋f(b)≥f(－

2

a)＋f(－b)，则a＋b≥0”．

用反证法证明：假设a＋b<0，则a<－b，b<－a. ∵f(x)是(－∞，＋∞)上的增函数， 则f(a)

【解析】 A．反证法中的反证不全面，“a>b”的否定应为“a≤b”． B．本题犯了“循环论证”的错误，实质上没有求出该题． C．在解题的过程中并没有用到假设的结论，故不是反证法． 【答案】 D

2．设a，b，c均为正实数，P＝a＋b－c，Q＝b＋c－a，R＝c＋a－b，则“PQR>0”是“P，

Q，R同时大于0”的( )

A．充分不必要条件

B．必要不充分条件 C．充要条件

D．既不充分也不必要条件

【解析】 首先，若P，Q，R同时大于0，则必有PQR>0成立．其次，若PQR>0，且P，

Q，R不都大于0，则必有两个为负，不妨设P<0，Q<0，即a＋b－c<0，b＋c－a<0，所以b<0，

与b>0矛盾．故P，Q，R都大于0.

【答案】 C

3．用反证法证明“一个三角形不能有两个直角”有三个步骤：

①∠A＋∠B＋∠C＝90°＋90°＋∠C>180°，这与三角形内角和为180°矛盾，故假设错误；

②所以一个三角形不能有两个直角；

③假设△ABC中有两个直角，不妨设∠A＝90°，∠B＝90°. 上述步骤的正确顺序为__________．

【解析】 由反证法证明数学命题的步骤可知，上述步骤的顺序应为③①②. 【答案】 ③①②

x2

4．已知函数f(x)＝，如果数列{an}满足a1＝4，an＋1＝f(an)，求证：当n≥2时，

2x－2

恒有an<3成立．

【证明】 假设an≥3(n≥2)，

a2n则由已知得an＋1＝f(an)＝，

2an－2

所以当n≥2时，

1?an＋1an1?

＝＝·?1＋? an2an－22?an－1?

1?1?3

≤?1＋?＝＜1(因为an－1≥3－1)，

2?42?

又易证an>0，所以当n≥2时，an＋1

a21681

而当n＝2时，a2＝＝＝＜3，

2a1－28－23

所以当n≥2时，an<3； 这与假设矛盾，故假设不成立， 所以当n≥2时，恒有an<3成立.