三角形中常见辅助线的作法

三角形中常见辅助线的作法

图中有角平分线，可向两边作垂线。 也可将图对折看，对称以后关系现。

角平分线平行线，等腰三角形来添。角平分线加垂线，三线合一试试看。

线段垂直平分线，常向两端把线连。要证线段倍与半，延长缩短可试验。

三角形中两中点，连接则成中位线。 三角形中有中线，延长中线等中线。

（一）添加辅助线构造全等三角形 例1. 已知：AB∥CD，AD∥BC。 求证：AB＝CD

（二）截长补短法引辅助线

当已知或求证中涉及到线段a、b、c有下列情况时：，如直接证不出来，可采用截长法：在较长的线段上截取一条线段等于较短线段；补短法：延长较短线段和较长线段相等，这两种方法放在一起叫截长补短法。

通过线段的截长补短，构造全等把分散的条件集中起来。 例2. 如图，△ABC中，∠ACB＝2∠B，∠1＝∠2。 求证：AB＝AC＋CD

例3. 如图，在Rt△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90°，∠1＝∠2，CE⊥BD交BD的延长线于E，证明：BD＝2CE。

（三）加倍法和折半法

证明一条线段是另一条线段的两倍，常用如下方法：将较短线段延长一倍，然后证明它和较长线段相等，或将较长线段折半，然后证明它和较短线段相等，这种方法称为加倍法和折半法。

例4. 已知：如图，AD是△ABC的中线，AE是△ABD的中线，AB＝DC，∠BAD＝∠BDA。 求证：AC＝2AE

四）利用角平分线的性质来添加辅助线

有角平分线（或证明是角平分线）时，常过角平分线上的点向角两边作垂线段，利用角平分线上的点到角两边的距离相等证题。

例5. 已知：△ABC的∠B、∠C的外角平分线交于点P。 求证：AP平分∠BAC

例6. 已知：如图，∠1＝∠2，P为BN上一点，且PD⊥BC于D，AB＋BC＝2BD。 求证：∠BAP＋∠BCP＝180°

2、引平行线构造全等三角形

例7如图2，已知△ABC中，AB＝AC，D在AB上，E是AC延长线上一点，且BD＝CE，DE与BC交于点F． 求证：DF=EF．

3、作连线构造等腰三角形

例8 如图3，已知RT△ACB中，∠C=90°，AC=BC，AD=AC，DE⊥AB，垂足为D，交BC于E．

求证：BD=DE=CE．

4、利用翻折，构造全等三角形．

例4 如图4，已知△ABC中，∠B＝2∠C，AD平分∠BAC交BC于D．

求证：AC＝AB＋BD．

【模拟试题】

，

1. 已知，如图，AB＝AE，BC＝ED，垂足为F，求证：CF＝DF

2．在四边形ABCD中，BC>BA，AD＝DC，BD平分

，求证：

3．已知AD是△ABC的中线，E在BC的延长线上，CE＝AB，AE＝2AD

4．已知①AM平分

；②

，M是BC中点，DM平分

5．已知在△ABC中，

，求证：

，求证：

，，求证：AB＝AC＋CD