信号与系统教案，第三章 周期信号的傅里叶级数表示分解

东北电力大学 教 案 封 皮 开课单位 授课教师 选用教材 信号与系统 西安交通大学出版社 课程名称 授课对象 总学时 72 3.0 引言 3.1 历史回顾 3.2 LTI系统对复指数信号的响应 3.3 连续时间周期信号的傅里叶级数表示 课次 12 第3章 周期信号的傅里叶级数表示 教学目的 及要求 了解傅里叶分析方法的历史，掌握LTI系统对复指数信号的响应以及连续时间周期信号的傅里叶级数表示。 教学重点、1. LTI系统对复指数信号的响应； 难点及处2. 连续时间周期信号的傅里叶级数表示。 理安排 教学方式、 讲授法 方法 教学 内容 及时 间分 配 3.0 引言 5min 3.1 历史回顾 10min 3.2 LTI系统对复指数信号的响应 30min 3.3 连续时间周期信号的傅里叶级数表示 45min 详见下文 例题、练习题 作业、思考题 教 案

内 容 备 注 3.0 引言 在这一章及其后的两章，将讨论信号与LTI系统的另一种表示。和第2章一样，讨论的出发点仍是将信号表示成一组基本信号的线性组合，不过这时所用的基本信号是复指数，所得到的表示就是连续时间和离散时间傅里叶级数和傅里叶变换。这一章集中讨论连续时间和离散时间周期信号的傅里叶级数表示，到第4章和第5章再把这种分析推广到非周期的有限能量信号的傅里叶变换表示中去。这两者合在一起就为分析、设计和理解信号与LTI系统提供了一种最有力和最重要的方法。 3.1 历史回顾 （略） 3.2 LTI系统对复指数信号的响应 在研究LTI系统时，将信号表示成基本信号的线性组合是很有利的，但这些基本信号应该具有以下两个性质: 1. 由这些基本信号能够构成相当广泛的一类有用信号； 2. LTI系统对每一个基本信号的响应应该十分简单，以使得系统对任意输人信号的响应有一个很方便的表示式。 在研究LTT系统时，复指数信号的重要性在于这样一个事实，即：一个LTI系统对复指数信号的响应也是同样一个复指数信号，不同的只是在幅度上的变化；也就是说： 连续时间：est?H(s)est (3.1) ?H(z)zn (3.2) 离散时间：zn这里H(s)或H(z)是一个复振幅因子，一般来说是复变量s或z的函数。一个信号，若系统对该信号的输出响应仅是一个常数(可能是复数)乘以输人，则称该信号为系统的特征函数，而幅度因子称为系统的特征值。 证明复指数是LTI系统的特征函数：详见教材128页 证明复指数序列也是离散时间LTI系统的特征函数：详见教材128页 一般地说，在连续时间情况下，(3.1)式与叠加性质结合在一起就意味着：将信号表示成复指数的线性组合就会导致一个LTI系统响应的方便表达式。(证明略) 换句话说，对于连续时间和离散时间来说，如果一个LTI系统的输入能够表示成复指数的线性组合，那么系统的输出也能够表示成相同复指数信号的线性组合；并且在输出表示式中的每一个系数可以用输人中相应的系数ak分别与特征函数有关的系统特征值相乘来求得。 3.3 连续时间周期信号的傅里叶级数表示 3 .3.1 成谐波关系的复指数信号的线性组合 周期复指数信号： x(t)?ej?t 0与之有关的成谐波关系的复指数信号集就是： ?k(t)?ejk?t?ejk(2?/T)t， k?0,?1,?2,? 0于是，一个由成谐波关系的复指数线性组合形成的信号 x(t)?k????aek??jk?0t?k????aek??jk(2?/T)t (3.25) k?0这一项就是一个常数，k??1和k??1这两项都有基波频率等于?0，两者合在一起称之为基波分量或称一次谐波分量。k??2和k??2这两项也是周期的，其周期是基波分量周期1/2 (或者说频率是基波频率的两倍)，称为二次谐波分量。一般来说，k??N和k??N的分量称为第N次谐波分量。 一个周期信号表示成(3.25)式的形式，就称为傅里叶级数表示。 例3.2 详见教材131页。 若x(t)是一个实信号，而且能表示成(3.25)式的形式，那么就有 ak*?a?k 继续可以推导一个信号为实信号时的另一种表示方式：(具体见教材) ak极坐标形式， x(t)?a0?2?Akcos(k?0t??k) (3.31) k?1?ak直角坐标形式， x(t)?a0?2?[Bkcosk?0t?Cksink?0t] (3.32) k?1?由此可见，对实周期函数来说，按(3.25)式所给出的复指数形式的傅里叶级数，数学上就等效为(3.31式和(3.32)式这两种形式之一，即都是三角函数的表示式。 3.3.2连续时间周期信号傅里叶级数表示的确定 x(t)?k????aek0??jk?0t?k????aek??jk(2?/T)t (3.38) ak?11?jk?t?jk(2?/T)tx(t)edt?x(t)edt (3.39) ??TTTT式中分别给出了用基波频率?0和基波周期T所表示的傅里叶级数的等效表示式。(3.38)式称为综合公式，而(3.39)式则称为分析公式。系数{ak}往往称为x(t)的傅里叶数级系数或称为x(t)的频谱系数。 a0?1x(t)dt ?TT先举几个例子来说明傅里叶级数的展开： 例3.3 例3.4 例3.5 详见教材