天津科技大学2014-2015线性代数期末考试考点及习题

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一、填空题（共15分，每小题3分） 1.余子式和代数余子式； 2.行列式计算； 3.求矩阵的秩；

4.线性相关与线性无关，求参数； 5.向量正交，求参数。

二、选择题（共15分，每小题3分） 1.矩阵与行列式的性质； 2. 线性相关与线性无关）； 3.方程组的有解充分必要条件； 4.特征值的性质； 5.相似矩阵性质。

三、（10分）矩阵乘法，转置，行列式计算。 四、（10分）求解矩阵方程。

五、（10分）求解非齐次方程组（用对应的齐次线性方程组的基础解系表示通解）。 六、（10分）极大无关组。

七、（10分）用施密特正交化方法把向量组正交化(不需要单位化). 八（12分）求矩阵的特征值与特征向量，并把矩阵对角化（二阶方阵）。 九、（8分）解的结构。

一、 填空题（共15分，每空3分）

1． 行列式的余子式和代数余子式；

123例1、行列式D?756中元素6的余子式的值为_____-12____；代数余子式的值为840_______12______.

1例2、 设三阶行列式D??205?3?4，则元素2的代数余子式A12的值为___-20_____. 0 1

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2. 行列式计算；(一个具体的行列式，不超过四阶，不含字母)

0例1． 行列式

002000?10的值为____12_____

30000?2020例2．

001300024001?______120________. 35111

例3．123?______2________.

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3.求矩阵的秩；（一个具体的矩阵）

要点：矩阵的秩等于行阶梯形矩阵中非零行的行数。

?111???例1. 设矩阵A??222?，则A的秩为( 1 ).

?333????051???例2. 设矩阵A??022?，则A的秩为( 2 ).

?003???4.线性相关与线性无关，求参数；

要点：1）三个三维向量线性相关当且仅当它们构成的矩阵的行列式等于0. 2）两个向量线性相关当且仅当它们的分量对应成比例

例1. 若向量组(1, ?1, 2), (3, 2, 0), (1, 4, ?)线性相关，则??____-4_________. 例2. 若向量组(1, ?1, 2), (3, 2, 0), (1, 4, ?)线性无关，则??___-4_________. 例3．若向量组(1,?4,6)与(2,-8,?)线性相关，则??______12_________.

5.向量正交，求参数。（两个或者三个向量正交）

（a,b）?0 要点：向量a,b正交当且仅当

例1 设向量(2,5,?4)与向量(1,t?1,t)正交，则t?____3_______.

例2 设三个向量 (1,t,0)，(0,1,t)，(0,0,t?1)两两正交，则t?_____0______.

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二、选择题（共15分，每小题3分） 1.矩阵与行列式的性质；（比如各种运算律）

例1. 设A、B为两个n阶方阵，则（ B ）.

(A) AB?BA；(B) AT?BT?BT?AT； (C) ATBT?BTAT； (D) ATBT?(AB)T. 例2. 设A为二阶方阵，且A?2，则(3A)?1?（ A ）. (A)

1931； (B) ； (C) ； (D) . 18226例3.设A、B为两个n阶方阵，则（ B ）.

(A) AB?BA；(B)A?B?B?A； (C)若A?B,则A?B； (D). 若AC?BC,C?O,则A?B

2. 线性相关与线性无关；

例1. 关于向量组的线性相关性，下列说法正确的是（ B ）.

(A) 如果α1,α2,表示；

(B) 如果n个n维向量线性相关，那么它们所构成的方阵行列式等于零； (C) 如果α1,α2,,αm线性相关，则向量组中每一个向量都可以用其余m?1个向量线性

,αm线性相关，则存在一组全不为零的数k1,k2,,km，使得

k1α1?k2α2??kmαm?0；

,αm线性无关，则必存在n维向量β，使得α1,α2,,αm,β线

(D) 如果n维向量α1,α2,性无关.

例2. 下列向量组中，线性无关的是（ C ）.

?1??0??4???????203?1??2???1?(A) ??, ??, ??； (B) ??, ??, ??； (C)

?3??0??2??1??3??5????????4??0??1?(D) ?1,0,1,2?, ?2,0,2,4?, ?1,1,1,1?.

?1??1??1????????0?, ?1?, ?1?； ?0??0??1????????1??a??1?3.方程组有解的充分必要条件；

例1 n元线性方程组Ax?b有解的充分必要条件是r(A)?r(Ab).

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例2 n元线性方程组Ax?b有唯一解的充分必要条件是r(A)?r(Ab)?n

例3 n元线性方程组Ax?b有无穷多组解的充分必要条件是 r(A)?r(A|b)?n . 例4 n元齐次线性方程组Ax?0仅有零解的充分必要条件是 r(A)?n . 例5 n元齐次线性方程组Ax?0有无穷多解的充分必要条件是r(A)?n.

4.特征值的性质； 2.A??1??2??n

3.tr(A)??1??2????n?a11?a22???ann 4.若A的特征值是?，则?(A)的特征值是?(?)。 例1 . 设3是方阵A的特征值，则矩阵2A具有特征值为（ D ）.

(A)10； (B)3； (C)5； (D)6.

例2. 设3是方阵A的特征值，则矩阵A?2A?3E具有特征值为（ D ）.

(A)10； (B)3； (C)5； (D)6.

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要点：1. 上（下）三角矩阵，对角矩阵的特征值是主对角线上的元素

?1?35???例3矩阵A??02?2?的特征值为_____1, 2, 3________. ?003???例3.设A为n阶方阵，则 ( C ).

(A) A的全部特征向量构成向量空间； (B) A有n个线性无关的特征向量； (C) A的全部特征值的和为tr(A)；

(D) A的全部特征值的积为tr(A).

?111???例4矩阵A??131?的特征值可能是（ A ）. ?1b1???(A) 1，4，0； (B) 1，3，0； (C) 2，4，0； (D) 2，4，?1.

5.相似矩阵性质

要点：1. 如果A~B,B~C,则A~C

2.如果A~B,则A?B，A和B可逆性相同

3. 如果A~B,则A和B具有相同的特征多项式和特征值，具有相同的迹

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