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第五章：年金的精算现值
练 习 题
1． 设随机变量T＝T(x)的概率密度函数为f(t)?0.015?e?0.015tδ＝0.05 。试计算精算现值 ax 。 2．设 ax?10, ax?7.375, VaraT2(t≥0)，利息强度为
（1）?；（2）ā???50。试求：
x 。
3． 某人现年50岁，以10000元购买于51岁开始给付的终身生存年金，试求其每年
所得年金额。
4． 某人现年23岁，约定于36年内每年年初缴付2 000元给某人寿保险公司，如中途死亡，即行停止，所缴付款额也不退还。而当此人活到60岁时，人寿保险公司便开始给付第一次年金，直至死亡为止。试求此人每次所获得的年金额。
5． 某人现年55岁，在人寿保险公司购有终身生存年金，每月末给付年金额250元，试在UDD假设和利率6%下，计算其精算现值。 6． 在UDD假设下，试证： (1)
n|??x(m)??(m)n|a??x???m?nEx 。 a??x:n??(m)a??x:n???m?(1?nEx) 。 (2) a(m)??x:n? （3）ax:n?a(m)(m)1(1?nEx) 。 m 7． 试求现年30岁每年领取年金额1200元的期末付终身生存年金的精算现值，且给付方法为：(1)按年；(2)按半年；(3)按季；(4)按月。 8． 试证：
??x (1)a(m)??i(m)ax ax:n 。
??x:n? (2)a(m)?i(m)??x (3) limam??(m)?ax 。 1 。 2??x? (4) ax?a 9． 很多年龄为23岁的人共同筹集基金，并约定在每年的年初生存者缴纳R元于此
项基金，缴付到64岁为止。 到65岁时，生存者将基金均分，使所得金额可购买期初付终身生存年金，每年领取的金额为3 600元。试求数额R。
??x?10， 10． Y是x岁签单的每期期末支付1的生存年金的给付现值随机变量，已知 a
2??x?6，i?a1 ，求Y的方差。 24 11． 某人将期末延期终身生存年金1万元遗留给其子，约定延期10年，其子现年30岁，求此年金的精算现值。
12． 某人现年35岁，购买一份即付定期年金，连续给付的年金分别为10元、8元、
6元、4元、2元、4元、6元、8元、10元，试求其精算现值。
(4)(4)??x??? 13. 给定a已知在每一年龄年UDD假设成立， 则a?17.287，Ax?0.1025。
是（ ）
A. 15．48 B. 15.51 C. 15.75 D. 15.82 14. 给定Var(aT)?100及??x?t??k, t?0, 利息强度??4k，则k=（ ） 9 A. 0.005 B. 0.010 C. 0.015 D. 0.020
15. 对于个体（x）的延期5年的期初生存年金，年金每年给付一次，每次1元，给定：
??x?5?4.524, 年金给付总额为S元（不计利息），则 ??x?t??0.01,i?0.04,a51xP（S???）值为（ ） a A. 0.82 B. 0.81 C. 0.80 D. 0.83
第六章：期缴纯保费与营业保费
练 习 题
1. 设?x?t???t?0?，利息强度为常数δ，求 PAx与Var(L)。
2. 有两份寿险保单，一份为(40)购买的保额2 000元、趸缴保费的终身寿险保单，并
且其死亡保险金于死亡年末给付；另一份为(40)购买的保额1 500元、年缴保费P的完全离散型终身寿险保单。已知第一份保单的给付现值随机变量的方差与第二份保单在保单签发时的保险人亏损的方差相等，且利率为6%，求P的值。
???? 3． 已知 P?0.005,P40:20?0.029,P60?0.034,i?6%,求a40 。 40:20 4． 已知 P62?0.0374,q62?0.0164,i?6%,求P63。
5． 已知L为(x)购买的保额为1元、年保费为Px:n的完全离散型两全保险，在保单签发时的保险人亏损随机变量，Ax:n?0.1774,21Px:nd?0.5850，计算Var(L)。
105?x (0≤x≤105)，年利率为6％。105 6． 已知x 岁的人服从如下生存分布：s?x??对(50)购买的保额1 000元的完全离散型终身寿险，设L为此保单签发时的保险人亏损随机变量，且P(L≥0)=0.4 。求此保单的年缴均衡纯保费的取值范围。
7. 已知 AX?0.19,2AX?0.064,d?0.057,?x?0.019,，其中?x为保险人对1单位终身寿险按年收取的营业保费。求保险人至少应发行多少份这种保单才能使这些保单的总亏损为正的概率小于等于0.05。[这里假设各保单相互独立，且总亏损近似服从正态分布，Pr（Ｚ≤1.645）=0.95，Z为标准正态随机变量。]
??x?16.72,a??20:40?15.72,计算 8. 1000P?7.00,a1000P20 。 20:40 9． P?10|??20??1.5,10P20?0.04,计算P20 。 a 10．已知
Px1:20(12)P1x:20?1.03,Px:20?0.04,计算Px(12) 。 :20 11． 已知x岁的人购买保额1000元的完全离散型终身寿险的年保费为50元，，L是在保单签发时保险人的亏损随机变量。 d?0.06,Ax?0.4,2Ax?0.2 (1)计算E［L］。
(2)计算Var(L)。
(3)现考察有100份同类保单的业务，其面额情况如下：
面额(元) 保单数(份)
1 80
4 20
假设各保单的亏损独立，用正态近似计算这个业务的盈利现值超过18 000元的概率。 12． (x)购买的n年限期缴费完全离散型终身寿险保单，其各种费用分别为：销售佣金为营业保费的6%；税金为营业保费的4%；每份保单的第1年费用为30元，第2年至第n年的费用各为5元；理赔费用为15元。 且 Ax?0.3,Ax:n?0.1,Ax?n?0.4,i?0.6，保额b以万元为单位，求保险费率函数R(b)。
13. 设 PA50?0.014,A50?0.17,则利息强度?=（）。 A. 0.070 B. 0.071 C. 0.073 D. 0.076 14. 已知i?0.05,px?1?0.022,px?0.99,则px?。 （） A. 0.0189 B. 0.0203 C. 0.0211 D. 0.0245 15. 设15P=( ) ，P45:15?0.056,A60?0.625,则P45：45?0.03815 A. 0.005 B. 0.006 C. 0.007 D. 0.008
11??
第七章：准备金
练 习 题
1. 对于(x)购买的趸缴保费、每年给付1元的连续定期年金，t时保险人的未来亏损随机变量为：
?aU,0?U?n?t L??a,U?n?t t?n?tn1??x:n?a??x?2k:n?2k?2a??x?k:n?k,计算kVx?k:n?k。 时,kVx:n?,a26计算E(tL)和Var(tL)。 2． 当k? 3． 已知
P?Ax???0.474,tV?Ax??0.510,tVx?0.500,计算tV(Ax)。
i 4． 假设在每一年龄内的死亡服从均匀分布，判断下面等式哪些正确： （1）1000qxkVAx:n?（2） kVAx????kx:nV
??i?kxV
1Vkx:n
（3） kVAx:n? 5.
?1?i?假设在每一年龄内的死亡服从均匀分布， 且
?4???35:20?12.00,10V35:20?0.30,10V35:1????4??0.40,P35:20?0.039,a?0.20,a?11.70，求 2035:20?4?1035:20V?10V35:20 。
1 6． 已知?1?PVx?0.11430 ?0.01212,2P?0.01508,3P????x20xx:10?0.06942?4?10计算2010Vx。
7． 一种完全离散型2年期两全保险保单的生存给付为1000元，每年的死亡给付为1000元加上该年年末的纯保费责任准备金，且利率i=6%，qx?k?0.1?1.1k （k=0，1）。计算年缴均衡纯保费P。
8． 已知P?0.03,A45:15?0.06,d?0.054,15k45?0.15，求15V45:20。 45:20 9． 25岁投保的完全连续终身寿险，L为该保单签发时的保险人亏损随机变量，已知
1Var?L??0.20,A45?0.70,2A25?0.30,计算20V?A25?。
10． 已知 tkx?0.30,tEx?0.45,Ax?t?0.52， 计算tVAx 。 11． 已知Ax:n?0.20,d?0.08,计算n?1Vx:n。
????x?t?10.0,tVx?0.100,t?1Vx?0.127,Px?t?1?0.043，求d的值。 12． 已知a 13． 对30岁投保、保额1元的完全连续终身寿险，L为保单签发时的保险人亏损随
2机变量，且A50?0.7,A30?0.3,Var?L??0.2，计算20VA30。
?? 14． 一 种完全连续型20年期的1单位生存年金，已知死亡服从分布：lx?75?x(０≤x≤75)，利率i?0，且保费连续支付20年。设投保年龄为35岁，计算此年金在第10年年末的纯保费准备金。
??32:13?9,i?5%，求 2V30:15 。 15． 已知q31?0.002,a 16． 对于完全离散型保额，1单位的2年期定期寿险应用某种修正准备金方法，已知
FPT
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