高中数学第二章平面向量2.3平面向量的数量积2.3.1向量数量积的物理背景与定义示范教案新人教B版必修4201711

2.3.1 向量数量积的物理背景与定义

示范教案 整体设计

教学分析

向量的数量积有着明确的物理背景和几何意义，与距离、角度紧密相联，它是度量几何学的基础．如何度量距离和角度是几何学发展的两个强大动力．向量的数量积使度量几何上升到一个崭新的层面，使人们能更有效地用代数方法研究几何，向量的数量积已成为研究几何度量的强有力的工具．

这是一个好定义，它不仅满足人们熟悉的运算律(如交换律、分配律等)，而且还可以用它来更加简洁地表述几何中的许多结果．

向量的数量积是一种新的向量运算，与向量的加法、减法、数乘运算一样，它也有明显的物理意义、几何意义．但与向量的线性运算不同的是，它的运算结果不是向量而是数量．

三维目标

1．通过经历探究过程，掌握平面向量的数量积及其几何意义，理解投影公式al＝|a|cosθ的意义和作用．

2．掌握数量积的定义、几何意义和5条基本性质．

3．通过问题的解决，培养学生观察问题、分析问题和解决问题的实际操作能力，培养学生的交流意识、合作精神，培养学生叙述表达自己解题思路和探索问题的能力．

重点难点

教学重点：平面向量数量积的定义．

教学难点：平面向量数量积的定义及其5条基本性质． 课时安排 1课时

教学过程 导入新课

思路1.(实例引入)在物理课中，我们学过功的概念，即如果一个物体在力F的作用下产生位移s，那么力F所做的功W可由下式计算：

W＝|F||s|cosθ

其中θ是F与s的夹角．我们知道力和位移都是向量，而功是一个标量(数量)． 故从力所做的功出发，我们就顺其自然地引入向量数量积的概念．

思路2.(类比引入)前面我们已学过，任意的两个向量都可以进行加减运算，并且两个向量的和与差仍是一个向量．我们结合任意的两个实数之间可以进行加减乘除(除数不为零)运算，就自然地会想到，任意的两个向量是否可以进行乘法运算呢？如果能，其运算结果是什么呢？由此展开新课探究．

推进新课 新知探究 提出问题

(1)如图1，一个力F作用于一个物体，使该物体位移s，如何计算这个力所做的功？

图1

(2)怎样理解两个向量的夹角？它的范围是多少？ (3)什么是向量在轴上的正射影？其结果是什么？

(4)怎样理解向量的数量积的定义？a·b的运算结果仍是向量吗？

活动：由于图示的力F的方向与位移方向有一个夹角θ，真正使物体前进的力是F在物体位移方向上的分力，这个分力与物体位移距离的乘积才是力F做的功，即力F使物体位移s所做的功W可以用W＝|s||F|cosθ计算．

其中|F|cosθ就是F在物体位移方向上的分量的数量，也就是力F在物体位移方向上正射影的数量．

以计算力做功为背景，我们引入向量的数量积运算． 力做功的计算，涉及到两个向量夹角和向量在轴上射影的概念．下面对这两个概念给予较精确的阐述．

→→

如图2，已知两个非零向量a，b(图2)，作OA＝a，OB＝b，则∠AOB称作向量a和向量

b的夹角，记作〈a，b〉，并规定0≤〈a，b〉≤π，在这个规定下，两个向量的夹角被唯一确定了，并且有〈a，b〉＝〈b，a〉．

图2

π

当〈a，b〉＝时，我们说向量a和向量b互相垂直．记作a⊥b.

2在讨论垂直问题时，规定零向量与任意向量垂直．

对于向量在轴上的正射影问题，教师可与学生一起观察图形探究．

→

已知向量a和轴l(如图3)．作OA＝a，过点O，A分别作轴l的垂线，垂足分别为O1，→

A1，则向量O1A1叫做向量a在轴l上的正射影(简称射影)，该射影在轴l上的坐标，称作a在轴l上的数量或在轴l的方向上的数量．

图3

→

OA＝a在轴l上正射影记作al，向量a的方向与轴l的正向所成的角为θ，则由三角函数中的余弦定义有

al＝|a|cosθ.

关于向量的数量积(内积)的定义，这是本章的核心部分，教师首先强调其定义： |a||b|cos〈a，b〉叫做向量a和b的数量积(或内积)，记作a·b，即

a·b＝|a||b|cos〈a，b〉．

然后引导学生观察分析这个定义，共同得出：

(1)两个向量a与b的内积是一个实数，可以等于正数、负数、零(如图4)．

图4

(2)若a为零向量，则|a|＝0，从而a·b＝0，故零向量与任一向量的数量积为0. (3)两个向量的数量积是两个向量之间的一种乘法运算，它与数的乘法运算有本质的区别，书写时要严格区分，不能把a·b与a·b混为一谈．

根据向量内积的定义，我们可以得到两个向量内积有如下重要性质： (1)如果e是单位向量，则a·e＝e·a＝|a|cos〈a，e〉； (2)a⊥b?a·b＝0，且a·b＝0?a⊥b； (3)当a与b同向时，a·b＝|a||b|； 当a与b反向时，a·b＝－|a||b|. 特别地a·a＝|a|或|a|＝a·a. (4)cosθ＝

2a·b.

|a||b|(5)|a·b|≤|a||b|.

上述性质要求学生结合数量积的定义自己尝试推证，教师给予必要的补充和提示，在推导过程中理解并记忆这些性质．

讨论结果：

(1)略(见活动)．

(2)两个向量夹角的范围是[0，π]． (3)向量在轴上的射影仍是向量． (4)略(见活动)． 应用示例

思路1

例 1已知轴l(如图5)：

图5

→→→

(1)向量|OA|＝5，〈OA，l〉＝60°，求OA在l上的正射影的数量OA1； →→→(2)向量|OB|＝5，〈OB，l〉＝120°，求OB在l上的正射影的数量OB1. 活动：直接应用定义解题，本例可由学生自己探究完成． 15解：(1)OA1＝5cos60°＝5×＝；

22

15

(2)OB1＝5cos120°＝5(－cos60°)＝5(－)＝－.

22

例 2 已知|a|＝5，|b|＝4，〈a，b〉＝120°，求a·b.

解：a·b＝|a||b|cos〈a，b〉＝5×4×cos120°＝－10.

点评：向量的数量积、模、夹角是一个有机的整体，可以相互转化，需要熟练掌握，这是解题的基本要求和主要内容. 变式训练 πab1．已知a、b是非零向量，且〈a，b〉＝，则向量p＝＋的模为( ) 3|a||b|A.2 B.3 C．2 D．3 答案：B 2．已知向量a与b的夹角为120°，且|a|＝|b|＝4，那么b·(2a＋b)的值为__________． 答案：0 →→→→→→→

例 3已知平面上三点A、B、C满足|AB|＝2，|BC|＝1，|CA|＝3，求AB·BC＋BC·CA＋→→

CA·AB的值．

活动：教师引导学生利用向量的数量积并结合两向量的夹角来求解，先分析题设然后找→→→

到所需条件．因为已知AB、BC、CA的长度，要求得两两之间的数量积，必须先求出两两之间的夹角．结合勾股定理可以注意到△ABC是直角三角形，然后可利用数形结合来求解结果．

→2→2→2

解：由已知，|BC|＋|CA|＝|AB|，所以△ABC是直角三角形．而且∠ACB＝90°， 31，sin∠BAC＝. 22

∴∠ABC＝60°，∠BAC＝30°. 从而sin∠ABC＝

→→→→→→

∴AB与BC的夹角为120°，BC与CA的夹角为90°，CA与AB的夹角为150°. →→→→→→故AB·BC＋BC·CA＋CA·AB

＝2×1×cos120°＋1×3cos90°＋3×2cos150° ＝－4.

点评：确定两个向量的夹角，应先平移向量，使它们的起点相同，再考察其角的大小，→→

而不是简单地看成两条线段的夹角，如例题中AB与BC的夹角是120°，而不是60°. 例 4已知|a|＝3，|b|＝4，且a与b不共线，当k为何值时，向量a＋kb与a－kb互相垂直？

222

解：a＋kb与a－kb互相垂直的条件是(a＋kb)·(a－kb)＝0，即a－kb＝0. 2222

∵a＝3＝9，b＝4＝16，

32

∴9－16k＝0.∴k＝±.

4

3

也就是说，当k＝±时，a＋kb与a－kb互相垂直．

4