线性代数宝典2

第一章 行列式

一、 行列式

1. n阶行列式共有n个元素，展开后有n!项，每项是来自不同行不同列元素的乘积的代数和. 2. 行列式常用记号 A,det(aij),2D表示, 重点是利用性质熟练准确的计算出行列式的值.

记号r2?kr1表示第一行的k倍加到第二行； c2?kc1表示第一列的k倍加到第二列,这一记号不满足交换性.

3. 行列式有三种类型：数字型、抽象型、含参型。另外要会计算矩阵的行列式，如：

A?1，AT，A*，AB，kA，A??E，

AOACOB，OB

4. 代数余子式和余子式的关系：Ai?ji?jij???1?Mij； Mij???1?Aij

5. 代数余子式的性质

① Aij和aij的大小无关，Aij和aij的位置有关；

② 某行（列）的元素乘以其它行（列）元素对应的代数余子式之和为0； ③ 某行（列）的元素乘以该行（列）元素对应的代数余子式之和为A. 6. 行列式的重要公式

① 主对角行列式的值等于主对角线上元素的乘积； ② 上、下三角行列式即

???00?,??的值等于主对角线上元素的乘积；

③ 范得蒙行列式：大指标减小指标的连乘积，共n(n?1)2项的乘积； ④ A??1?2...?n， 其中?i为A的特征值； ⑤ 拉普拉斯展开式

ACAOAmOAmOB?CB?AOOB?AB；

CBnO?BAB；nC???1?mn⑥ AB?BA成立的前提是A,B为同阶方阵； kA?knA，A为n阶方阵；A为n阶可逆阵，则A?1?1； A??An?1A ；

7. 证明A?0常用的方法

① 证明A??A； A?kA?k?1?

② 用反证法. 假设A?0，则A可逆，……，得到矛盾.

AT?A；1

第一章 行列式

③ 构造齐次线性方程组Anx?0，证明其有非零解. ④ 利用秩，证明r(An)?n ⑤ 证明??0是An的特征值.

⑥ 证明A的列（行）向量组是线性相关的.

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