2017年北京高考文科数学试题及答案解析

【解析】（Ⅰ）

???f?x??3cos?2x???2sinxcosx3???13??3?cos2x??sin2x??sin2x???22??

31cos2x?sin2x22????sin?2x??3???所以最小正周期T?（Ⅱ）证明：

2???2???. 2???fx?sin2x???由（Ⅰ）知??. 3???????x???,??44?

???5???2x????,?3?66?当2x??3???6，即x???4时，f?x?取得最小值?.

12?f?x???1得证. 2

9

17．（本小题13分）

某大学艺术专业400名学生参加某次测评，根据男女学生人数比例，使用分层抽样的方法从中随机抽取了100名学生，记录他们的分数，将数据分成7组：?20,30?，?30,40?，?，?80,90?，并整理得到如下频率分布直方图：

（I）从总体的400名学生中随机抽取一人，估计其分数小于70的概率； （II）已知样本中分数小于40的学生有5人，试估计总体中分数在区间?40,50?内的人数；

（III）已知样本中有一半男生的分数不小于70，且样本中分数不小于

70的男女生人数相等.试估计总体中男生和女生人数的比例.

【解析】

（I）由频率分布直方图得：

分数大于等于70的频率为分数在?70,80?和?80,90?的频率之和， 即0.4?0.2?0.6，由频率估计概率

?分数小于70的概率为1?0.6?0.4

（II）设样本中分数在区间?40,50?内的人数为x，则由频率和为1得

10

x5??0.1?0.2?0.4?0.2?1 100100

解之得x?5

?总体中分数在区间?40,50?内的人数为400?5?20（人） 100（III）设样本中男生人数为a，女生人数为b

?样本中分数不小于70的人数共有?0.4?0.2??100?60（人） ?分数不小于70的人中男生，女生各占30人 ?样本中男生人数为a?30?30?60（人）

女生人数为b?100?60?40（人）

?总体中男生和女生的比例为?

ab32

11

18．（本小题14分）

如图，在三棱锥P?ABC中，PA?AB，PA?BC，AB?BC，

PA?AB?BC?2，D为线段AC的中点，E为线段PC上一点.

（I）求证：PA?BD；

（II）求证：平面BDE?平面PAC；

（III）当PA//平面BDE时，求三棱锥E?BCD的体积. 【解析】

（I）?PA?AB，PA?BC，AB?BC?B

又AB?平面ABC，BC?平面ABC

?PA?平面ABC

又BD?平面ABC

?PA?BD

（II）在?ABC中，D为AC中点

又AB?BC

由（I）知PA?BD，而AC?PA?A，PA，AC?平面PAC

?BD?平面PAC

12

?BD?AC