人教版高中数学《排列组合》教案

在讲解时一定要让学生去分析：要解决的问题是排列问题还是组合问题，关键是看是否与顺序有关．那么又如何计算C呢？

mn3．组合数公式的推导

⑴提问：从4个不同元素a，b，c，d中取出3个元素的组合数C43是多少呢？

启发： 由于排列是先组合再排列，而从4个不同元素中取出3．．．．．．．．．个元素的排列数A43 可以求得，故我们可以考察一下C43和A43的关系，如下：

组 合 排列

abc????abc,abd,acd,bcd,bac,bad,cad,cbd,cab,dab,dac,dbc,acb,adb,adc,bdc,bca,bda,cda,cdb,cbadbadcadcb

abdacdbcd

由此可知：每一个组合都对应着6个不同的排列，因此，求从4个不同元素中取出3个元素的排列数A43，可以分如下两步：① 考虑从4个不同元素中取出3个元素的组合，共有C43个；② 对每一个组合的3个不同元素进行全排列，各有A种方法．由分步计数原理得：

33A34＝C34?A33，所以：C34?A4A333．

⑵ 推广： 一般地，求从n个不同元素中取出m个元素的排列数A，可以分如下两步：① 先求从n个不同元素中取出m个元素的

mn组合数C；② 求每一个组合中m个元素全排列数A，根据分布计

mnmm数原理得：A＝Cmnmn?Amm

⑶ 组合数的公式：

Cmn?AnAmmm?n(n?1)(n?2)?(n?m?1)m!

(n,m?N,且m?n)

?或

Cn?mn!m!(n?m)!

⑷ 巩固练习：

1．计算：⑴ C ⑵ C

47710 2．求证：Cmn?m?1n?m?Cm?1n 的值．

x?13．设x?N?, 求Cx?12x?3?Cx?12x?32x?3? 解：由题意可得：???x?1?2x?3 即：2≤x≤4

∵x?N?, ∴x=2或3或4

当x=2时原式值为7；当x=3时原式值为7；当x=2时原式值为11．

∴所求值为4或7或11． 4．例题讲评

例1． 6本不同的书分给甲、乙、丙3同学，每人各得2本，有多少种不同的分

法？ 略解：C26?C4?C2?9022

例2．4名男生和6名女生组成至少有1个男生参加的三人实践活动小组，问组成方法共有多少种？

解法一：（直接法）小组构成有三种情形：3男，2男1女，1男2女，分别有C43，C100种方法．

24?C61，C14?C62，所以一共有C43+C24?C61+C14?C62＝

解法二：（间接法）C310?C6?1003

5．学生练习：（课本99练习） 三、小结：

定 义 排 列 组 合 此外，解决实际问题时首先要看是否与顺序有关，从而确定是排列问题还是组合问题，必要时要利用分类和分步计数原理．

四、作业：课堂作业：教学与测试75课 课外作业：课课练 课时7和8 组 合 ⑵

课题：组合的简单应用及组合数的两个性质

目的：深刻理解排列与组合的区别和联系，熟练掌握组合数的计算公式；掌握组合数的两个性质，并且能够运用它解决一些简单的应用问题．

过程： 一、复习回顾：

1．复习排列和组合的有关内容：

强调：排列——次序性；组合——无序性．

特 点 相同组合 式 公

2．练习一： 练习1：求证：Cmn?nm3Cn?1m?1． （本式也可变形为：mCC7?C632mn?nCn?15m?1）

练习2：计算：①

C10和C； ②

710与C；③

36C11?C114

答案：① 120，120 ② 20，20 ③ 792 （此练习的目的为下面学习组合数的两个性质打好基础．） 3．练习二：

⑴ 平面内有10个点，以其中每2个点为端点的线段共有多少条？

⑵ 平面内有10个点，以其中每2个点为端点的有向线段共有多少条？

答案：⑴C210?45 （组合问题） ⑵A210?90（排列问题）

二、新授：

1．组合数的 性质1：Cmn?Cnn?m．

理解： 一般地，从n个不同元素中取出m个元素后，剩下n ? m个元素．因

为从n个不同元素中取出m个元素的每一个组合，与剩下的n ? m个元素的每一个组合一一对应，所以从n个不同元素中取出m个．．．．元素的组合数，等于从这n个元素中取出n ? m个元素的组合数，即：

Cn?Cnmn?m．在这里，我们主要体现：“取法”与“剩法”是“一一对

应”的思想．

证明：∵Cn?mn?n!(n?m)![n?(n?m)]!?n!m!(n?m)!