2018高考数学一轮复习第2章函数导数及其应用第11节导数与函数的单调性教师用书文北师大版

第十一节 导数与函数的单调性

[考纲传真] 了解函数的单调性和导数的关系；能利用导数研究函数的单调性，会求函数的单调区间(其中多项式函数一般不超过三次)．

函数的导数与单调性的关系

函数y＝f (x)在某个区间内可导，则

(1)若f ′(x)＞0，则f (x)在这个区间内增加的； (2)若f ′(x)＜0，则f (x)在这个区间内减少的； (3)若f ′(x)＝0，则f (x)在这个区间内是常数函数．

1．(思考辨析)判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)若函数f (x)在区间(a，b)上增加，那么在区间(a，b)上一定有f ′(x)>0.

( )

(2)如果函数在某个区间内恒有f ′(x)＝0，则函数f (x)在此区间上没有单调性．( )

(3)f ′(x)＞0是f (x)为增函数的充要条件．( ) [答案] (1)× (2)√ (3)× 2．f (x)＝x－6x的递减区间为( ) A．(0,4) C．(4，＋∞)

2

3

2

B．(0,2) D．(－∞，0)

A [f ′(x)＝3x－12x＝3x(x－4)，由f ′(x)<0，得0

【导学号：66482105】

A．函数f (x)在区间(－3,0)上是减少的 B．函数f (x)在区间(1,3)上是减少的 C．函数f (x)在区间(0,2)上是减少的 D．函数f (x)在区间(3,4)上是增加的

1

图2-11-1

A [当x∈(－3,0)时，f ′(x)＜0，则f (x)在(－3,0)上是减少的．其他判断均不正确．]

4．(2015·陕西高考)设f (x)＝x－sinx，则f (x)( ) A．既是奇函数又是减函数 B．既是奇函数又是增函数 C．是有零点的减函数 D．是没有零点的奇函数

B [因为f ′(x)＝1－cosx≥0，所以函数为增函数，排除选项A和C.又因为f (0)＝0－sin0＝0，所以函数存在零点，排除选项D，故选B.]

5．(2014·全国卷Ⅱ)若函数f (x)＝kx－ln x在区间(1，＋∞)递增，则k的取值范围是( )

A．(－∞，－2] C．[2，＋∞)

B．(－∞，－1] D．[1，＋∞)

11D [由于f ′(x)＝k－，f (x)＝kx－ln x在区间(1，＋∞)递增?f ′(x)＝k－≥0

xx在(1，＋∞)上恒成立．

11

由于k≥，而0<<1，所以k≥1，即k的取值范围为[1，＋∞)．]

xx

3

2

判断或证明函数的单调性 已知函数f (x)＝x＋ax＋b(a，b∈R)．试讨论f (x)的单调性.

【导学号：66482106】

[解] f ′(x)＝3x＋2ax，令f ′(x)＝0， 2a解得x1＝0，x2＝－. 2分

3

2

2

当a＝0时，因为f ′(x)＝3x≥0，所以函数f (x)在(－∞，＋∞)上是增加的；4分 2a???2a?当a＞0时，x∈?－∞，－?∪(0，＋∞)时，f ′(x)＞0，x∈?－，0?时，f ′(x)3???3?＜0，

2a???2a?所以函数f (x)在?－∞，－?，(0，＋∞)上是增加的，在?－，0?上是减少的；73???3?分

2a??2a??当a＜0时，x∈(－∞，0)∪?－，＋∞?时，f ′(x)＞0，x∈?0，－?时，f ′(x)

3??3??＜0，10分

2a??－2a，＋∞?上是增加的，?所以函数f (x)在(－∞，0)，在?0，－?上是减少的. 12?3?3????分

[规律方法] 用导数证明函数f (x)在(a，b)内的单调性的步骤 (1)一求．求f ′(x)；

(2)二定．确认f ′(x)在(a，b)内的符号；

(3)三结论．作出结论：f ′(x)＞0时为增函数；f ′(x)＜0时为减函数．

易错警示：研究含参数函数的单调性时，需注意依据参数取值对不等式解集的影响进行分类讨论．

1e2

[变式训练1] (2016·四川高考节选)设函数f (x)＝ax－a－ln x，g(x)＝－x，其xe中a∈R，e＝2.718?为自然对数的底数．

(1)讨论f (x)的单调性； (2)证明：当x>1时，g(x)>0.

12ax－1

[解] (1)由题意得f ′(x)＝2ax－＝(x>0). 2分

2

2

xx当a≤0时，f ′(x)<0，f (x)在(0，＋∞)内是减少的． 当a>0时，由f ′(x)＝0有x＝当x∈?0，当x∈?

12a，

?

?

1??时，f ′(x)<0，f (x)是减少的；5分 2a?

?1，＋∞?

?时，f ′(x)>0，f (x)是增加的. 7分

?2a?

x－1

(2)证明：令s(x)＝e－x，则s′(x)＝e

x－1

x－1

－1. 9分

当x>1时，s′(x)>0，所以e>x，

11

从而g(x)＝－x－1>0. 12分

xe

3

求函数的单调区间 3

(2016·天津高考节选)设函数f (x)＝x－ax－b，x∈R，其中a，b∈

R.求f (x)的单调区间．

[解] 由f (x)＝x－ax－b，可得f ′(x)＝3x－a. 下面分两种情况讨论：

①当a≤0时，有f ′(x)＝3x－a≥0恒成立， 所以f (x)的递增区间为(－∞，＋∞). 5分 ②当a＞0时，令f ′(x)＝0，解得x＝3a3a或x＝－. 33

2

3

2

当x变化时，f ′(x)，f (x)的变化情况如下表：

x f ′(x) f (x) 3a???－∞，－? 3??＋ 递增 －3a 30 3a3a???－，? 3??3－ 递减 3a 30 极小值 ?3a??，＋∞? ?3?＋ 递增 极大值 所以f (x)的递减区间为?－12分

??3a3a?3a??3a??，?，递增区间为?－∞，－?，?，＋∞?. 33?3??3??[规律方法] 求函数单调区间的步骤： (1)确定函数f (x)的定义域； (2)求f ′(x)；

(3)在定义域内解不等式f ′(x)＞0，得递增区间； (4)在定义域内解不等式f ′(x)＜0，得递减区间．

[变式训练2] 已知函数f (x)＝(－x＋2x)e，x∈R，e为自然对数的底数，则函数f (x)的递增区间为________．

(－2，2) [因为f (x)＝(－x＋2x)e， 所以f ′(x)＝(－2x＋2)e＋(－x＋2x)e ＝(－x＋2)e.

令f ′(x)＞0，即(－x＋2)e＞0，

因为e＞0，所以－x＋2＞0，解得－2＜x＜2， 所以函数f (x)的递增区间为(－2，2)．]

x2

2

2

2

2

xxx2xxx 已知函数f (x)＝x－ax－1. 3已知函数的单调性求参数 若f (x)在R上为增函数，求实数a的取值范围．

4