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复旦大学2001年选拔生考试数学试题
一、填空(每小题5分，共45分)
1．sinx?siny?0，则cos2x?sin2y?___________________．
2．平面?1, ?2成?的二面角，平面?1中的椭圆在平面?2中的射影是圆，那么椭圆短轴与长轴之比为
__________．
3．(x2+2x+2)(y2-2y+2)＝1，则x+y?________________________．
4．电话号码0，1不能是首位，则本市电话号码从7位升到8位，使得电话号码资源增加____． 5．2002?83a3+82a2+8a1+a0，0≤a0,a1,a2,a3≤7正整数，则a0?______________． 6．(x?1x15)的常数项为_________________．
7．limn??n(n?1?n)＝__________________．
8．空间两平面?,?，是否一定存在一个平面均与平面?,?垂直？___________． 9．在△ABC中，cos(2A?C)＝cos(2C?B)，则此三角形的形状是________________． 二、解答题(共87分)
1．求解：cos3xtan5x＝sin7x．
2．数列3，3?lg2，?,3?(n?1)lg2．问当n为几时，前n项的和最大？
3．求证：x∈R时，|x?1|≤4|x3?1|．
4．a为何值时，方程
lgxlg2?lg(a?x)lg2?log2(a?1)有解？只有一解？
2
5．一艘船向西以每小时10公里的速度航行，在它的西南方向有一台风中心正以每小时20公里速度向正
北方向移动，船与台风中心距离300米，在台风中心周围100米处将受到影响，问此船航行受台风影响的时间段长度？
6．x-2y＝1的所有整数解(x,y)，试证明：|
3
3
1xy?23|?4|y|3．
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2002复旦基地班数学考题
1. 已知：sinx?siny?0则cos2x?cos2y?_______________。
2. x,y?R，?x2?2x?2??y2?2y?2??1，则x?y?_______________。
3. 空间两平面?1,?2，_______________ ?3与?1,?2均垂直? （请填“存在”或“不存在”） 4. 从奇偶性看：函数y?lnx?x2?1是_______________。
5. 平面?1,?2成?角，一椭圆E??1在?2内射影为一个圆，求椭圆长轴与短轴之比
_______________。
6. 2002?83a3?82a2?8a1?a0?1?ai?7,ai?N?，a3?_______________。 7. ?ABC中，cos?2A?C??cos?2B?C?，则?ABC为_______________。
8. 若0,1作为特殊号码不能放在首位，则电话号码由7位升至8位后，理论上可以增加
_______________电话资源。 9.
???3??1?x??中不含x的项为_______________。
x?1510. 解方程：cos3x?tan5x?sin7x
11. 一艘船以v1?10km/h向西行驶，在西南方向300km处有一台风中心，周围100km为暴雨
区，且以v2?20km/h向北移动，问该船遭遇暴雨的时间段长度。
12. 已知：0.3010?lg2?0.3011，要使数列3,3?lg2,?,3??n?1?lg2的前n项和最大，求n。 13. 参数a取何值时：
logaxloga2?logx?2a?x?logx2?1loga2?12
①有解?②仅有一解?
14. 在?0,??内，方程acos2x?3asinx?2?0有且仅有二解，求a的范围。 15. 证明方程：x?2y?1的任一组整数解?x,y??y?0?都有：
33xy1?23?4y3。
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2002年交大联读班数学试卷
1. ?3?1，?是虚数，则?2n??n?1?_______________。
2. 函数y?ax?b?a,b?Z?的图象与三条抛物线y?x2?3、y?x2?6x?7、y?x2?4x?5分
别有2，1，0个交点，则?a,b??_______________。 3. 若3a?4b?6c，则
1a?12b?1c?_______________。
4. 若2x?2?x?2，则8x?_______________。 5. 函数y???secx?tanxsecx?tanx22的值域为_______________。
6. ?1?1??1??1?1??1???2??2?2?2??3??n?_______________。
1x27. 正实数x,y,z满足x2?y2?z2?1，则
?1y2?1z2的最小值是_______________。
8. 一个圆内接四边形ABCD，已知AB＝4，BC＝8，CD＝9，DA＝7，则cosA?_______________。 9. 实数a,b满足a1?b2?b1?a2?1，则a2?b2?_______________。
1??910. ?x2?1??的展开式中x的系数为_______________。
2x??911. 方程a2?x2?2?x，1?a?2，则方程有_______________个实数解。 12. ?ABC三边长a,b,c满足a?b?c，b?n，?a,b,c?N*?，则不同的三角形有_______________个。
13. 掷3个骰子，掷出点数之和为9的倍数的概率为_______________。 14. 若不等式0?x2?ax?5?4只有唯一实数解，则a?_______________。
15. 有两个两位数，它们的差是56，两数分别平方后，末两位数相同，则这两个两位数为
_______________。
16. 在一个环形地带上顺次有五所学校A、B、C、D、E，它们各有15、7、11、3、14台机
器，现要使机器平均分配，规定机器的运输必须在相邻学校间进行，为使总的运输台数最少，则A应给B_______________台，B应给C_______________台，A给 E_______________台，总共运输_______________台。 17. ①用数学归纳法证明以下结论：1?122?132????1n2?2?1n ?n?2,n?N*?。
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②若有1?x26?sinxx?1，利用①的结论求limn??1?11?1?sin1?2?sin????n?sin??n?2n?2x?ax?b
18. 若x?f?x?，称x为f?x?的不动点，f?x??
①若f?x?有关于原点对称的两个不动点，求a,b满足的关系； ②画出这两个不动点的草图。
19. 有50cm的铁丝，要与一面墙成面积为144cm2长方形区域，为使用料最省，求矩形的长与
宽。
20. 数列?an?满足an?1?2an2?1，aN?1且aN?1?1，其中N??2,3,4,??
①求证：a1?1； ②求证：a1?cosk?2N?2?k?Z?。
a?b?? ?2??21. 函数f?x??lgx，有0?a?b且f?a??f?b??2f?①求a,b满足的关系；
②证明：存在这样的b，使3?b?4。
22. A,B两人轮流掷一个骰子，第一次由A先掷，若A掷到一点，下次仍由A掷：若A掷不
到一点，下次换B掷，对B同样适用规则。如此依次投掷，记第n次由A掷的概率为An。 ①求An?1与An的关系； ②求limAn。
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