复旦自主招生试题

复旦大学2000年保送生招生测试数学试题（理科）

一、填空题（每小题10分，共60分）

1．将自然数按顺序分组：第一组含一个数，第二组含二个数，第三组含三个数，……，第n组含n个数，即1；2，3；4，5，6；……．令an为第n组数之和，则an＝________________．

??2．sin2??sin2(??)?sin2(??)＝______________．

333．lim[(n?2)log2(n?2)?2(n?1)log2(n?1)?nlog2n]＝_________________．

n??4．已知平行六面体的底面是一个菱形且其锐角等于60度，又过此锐角的侧棱与锐角两边成等角，和底面成60度角，则两对角面面积之比为__________________．

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5．正实数x,y满足关系式x?xy?4＝0，又若x≤1，则y的最小值为_____________．

6．一列火车长500米以匀速在直线轨道上前进，当车尾经过某站台时，有人驾驶摩托车从站台追赶火车

给火车司机送上急件，然后原速返回，返回中与车尾相遇时，此人发现这时正在离站台1000米处，假设摩托车车速不变，则摩托车从出发到站台共行驶了______________米． 二、解答题（每小题15分，共90分）

1．数列{an}适合递推式an+1＝3an+4，又a1＝1，求数列前n项和Sn．

2．求证：从椭圆焦点出发的光线经光洁的椭圆壁反射后必经过另一个焦点．你还知道其它圆锥曲线的光

学性质吗？请叙述但不必证明． 3．正六棱锥的高等于h，相邻侧面的两面角等于2arcsin求该棱锥的体积．(cos?12?14(2?6))

12(32?6)，

4．设z1,z2,z3,z4是复平面上单位圆上的四点，若z1+z2+z3+z4=0．

求证：这四个点组成一个矩形． 5．设(1?2)?xn?ynn2，其中xn,yn为整数，求n→∞时，

xnyn的极限．

6．设平面上有三个点，任意二个点之间的距离不超过1．问：半径至少为多大的圆盘才能盖住这三个点．请

证明你的结论．

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2001复旦基地班数学试题

1. 设函数y?xx?a的反函数是它自身，则常数a?_______________。

222. 不等式??log2??x????log2x的解集是_______________。

3. 直线2x?7y?8?0与2x?7y?6?0间的距离是_______________。

4. 如果?3?x?的展开式的系数和是?1?y?的展开式的系数和的512倍，那么自然数n与m的关系为_______________。 5. 椭圆??34?2cos?nm的焦距是_______________。

226. 己知4x?3y?5?0，那么?x?1???y?3?的最小值为_______________。

7. 与正实轴夹角为arcsin?sin3?的直线的斜率记为k，则arctank?_______________。（结果用数值表示）

8. 从n个人中选出m名正式代表与若干名非正式代表，其中非正式代表至少1名且名额不

限，则共有_______________种选法?m?n?。

9. 正方体ABCD?A1B1C1D1中，BC1与截面BB1D1D所成的角为_______________。 10. sec50??1cot10??_______________。（结果用数值表示）

11. 函数g?x??cos?x?cos??x???的最小正周期是（ ）

?2??3?A．2? B．? C．2 D．1 12. 设函数f?x??A．f?x??f?1x的反函数为f?1 ?x?，则对于?0,1?内的所有x值，一定成立的是（ ）

f?1?x? B．f?x???x? C．f?x??f?1?x? D．f?x??f?1?x?

13. 813除以9所得的余数是（ ）

A．6 B．?1 C．8 D．1

14. 抛物线y2??4?x?1?的准线方程为（ ）

A．x?1 B．x?2 C．x?3 D．x?4

1?x?t???t15. 由参数方程?所表示的曲线是（ ）

1?y?t??t?A．椭圆 B．双曲线 C．抛物线 D．圆

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16. 己知抛物线y?x2?5x?2与y?ax2?bx?c关于点?3,2?对称，则a?b?c的值为（ ）

A．1 B．2 C．3 D．4

17. 作坐标平移，使原坐标下的点?a,0?，在新坐标下为?0,b?，则y?f?x?在新坐标下的方程

为（ ）

A．y'?f?x'?a??b B．y'?f?x'?a??b C．y'?f?x'??a?b D．y'?f?x'?a?b? 18. 设有四个命题：

①两条直线无公共点，是这两条直线为异面直线的充分而不必要条件；

②一条直线垂直于一个平面内无数条直线是这条直线垂直于这个平面的充要条件； ③空间一个角的两边分别垂直于另一个角的两边是这两个角相等或互补的充要条件。 ④a,b是平面?外的两条直线，且a//?，则a//b是b//?的必要而不充分条件，其中真命题的个数是（ ）

A．3 B．2 C．1 D．0

19. 集合A,B各有四个元素，A?B有一个元素，CüA?B，集合C含有三个元素，且其中

至少有一个A的元素，符合上述条件的集合C的个数是（ ） A．55 B．52 C．34 D．35

20. 全面积为定值?a2（其中a?0）的圆锥中，体积的最大值为（ ）

A．?a3 B．

322123?a C．?a D．

313663?a

21. 已知：sin??sin??a，cos??cos??a?1，求sin?????及cos?????。

22. 设复数z1,z2满足：z1?z1?z2，z1z2?a?1?3i?，其中i是虚数单位，a是非零实数，求

z2z1。

23. 已知椭圆

?x?a?22?y?1与抛物线y?142212x在第一象限内有两个公共点A,B，线段AB的

中点M在抛物线y2??x?1?上，求a。

n?1n24. 设数列?bn?满足b1?1，bn?0，?n?2,3,??其前n项乘积Tn??abn??n?1,2,??，①证

明?bn?是等比数列。②求?bn?中所有不同两项的乘积之和。

25. 己知棱柱ABC?A1B1C1的底面是等腰三角形，AB?AC，上底面的项点A1在下底面的射

影是?ABC的外接圆圆心，设BC?a，?A1AB??3，棱柱的侧面积为23a2。

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①证明:侧面A1ABB1和A1ACC1都是菱形，B1BCC1是矩形。 ②求棱柱的侧面所成的三个两面角的大小。 ③求棱柱的体积。

26. 在直角坐标系中，O是原点，A,B是第一象限内的点，并且A在直线y??tan??x上（其

中???????,2??），OA?12?cos??4，B是双曲线x2?y2?1上使?OAB的面积最小的点，

求：当?取?

????,?中什么值时，?OAB?42?的面积最大，最大值是多少?

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