高考数学二轮复习 专题9 思想方法专题 第一讲 函数与方程思想 理

12．直线m：y＝kx＋1和双曲线x2－y2＝1的左支交于A，B两点，直线l过点P(－2，0)和线段AB的中点M，求l在y轴上的截距b的取值范围．

?y＝kx＋1，?

解析：由?2(x≤－1)消去y， 2

?x－y＝1?

得(k－1)x＋2kx＋2＝0.①

因为直线m与双曲线的左支有两个交点，所以方程①有两个不相等的负实数根．

22

?2k?x＋x＝＜0，

1－k所以?

－2

x·x＝＞0，??1－k

1

2

2

1

2

2

1

0

0

0

0

0

Δ＝4k＋8（1－k）＞0，

解得1＜k＜2.

22

x＋xk

x＝＝，??21－k

设M(x，y)，则?

1

??y＝kx＋1＝1－k.

2

22

由P(－2，0)，M?

2

2?k2，12?，Q(0，b)三点共线，得出b＝

， ?2－2k＋k＋2?1－k1－k?

2

?1?17

设f(k)＝－2k＋k＋2＝－2?k－?＋，

8?4?

则f(k)在(1，2)上为减函数， ∴f(2)＜f(k)＜f(1)，且f(k)≠0. ∴－(2－2)＜f(k)＜0或0＜f(k)＜1. ∴b＜－2－2或b＞2.

∴b的取值范围是(－∞，－2－2)∪(2，＋∞)．

13．若关于x的方程4＋a·2＋a＋1＝0有实数解，求实数a的取值范围． 解析：解法一 令2＝t(t＞0)，则原方程可化为 t＋at＋a＋1＝0，(*)

问题转化为方程(*)在(0，＋∞)上有实数解，求a的取值范围． ①当方程(*)的根都在(0，＋∞)上时，可得下式 Δ＝a－4（a＋1）≥0，??

? ?t1＋t2＝－a＞0，

??t1·t2＝a＋1＞0

2

2

x

x

x

?a≤2－22或a≥2＋2?a＜0，?a＞－1，

2，

即－1＜a≤2－22，

②当方程(*)的根一个在(0，＋∞)上，另一根在(－∞，0]上时， 令f(t)＝t＋at＋a＋1得f(0)≤0，即a≤－1. 由①②知满足条件的a的取值范围为 (－∞，2－22]． 解法二 令t＝2(t＞0)， 则原方程可化为t＋at＋a＋1＝0. 1＋t（t－1）＋2

变形为a＝－＝－ 1＋t1＋t2??＝－?（t－1）＋

t＋1???

2?－2?＝－?（t＋1）＋≤－(22－2)＝2－22. t＋1???当且仅当t＝2－1时取等号． 所以a的取值范围是(－∞，2－22]．

2

2

2x

2