2007年全国中考数学试题分类汇编（四边形）

?三角形ADO的面积

AD?DO23， ?23?AD?2，DO?23???EAB?30?． ，??DAO?30，37、（2007甘肃陇南）四边形ABCD、DEFG都是正方形，连接AE、CG． （1）求证：AE=CG；

（2）观察图形，猜想AE与CG之间的位置关系，

并证明你的猜想． (1) 证明： 如图，

∵ AD=CD，DE=DG，∠ADC=∠GDE=90o， 又 ∠CDG=90o +∠ADG=∠ADE，

∴ △ADE≌△CDG． ∴ AE=CG．

（2）猜想： AE⊥CG． 证明： 如图，

设AE与CG交点为M，AD与CG交点为N． ∵ △ADE≌△CDG， ∴ ∠DAE=∠DCG． 又∵ ∠ANM=∠CND， ∴ △AMN∽△CDN．

∴ ∠AMN=∠ADC=90o．∴ AE⊥CG． 8、（2007淄博）已知：如图，在△ABC中，AB=AC，AD⊥BC，垂足为点D，AN是△ABC外角∠CAM

M 的平分线，CE⊥AN，垂足为点E，

（1）求证：四边形ADCE为矩形；

E A N （2）当△ABC满足什么条件时，四边形

ADCE是一个正方形？并给出证明．

（1）证明：在△A BC中， AB=AC，AD⊥BC．

∴ ∠BAD=∠DAC． ………………………………1分 ∵ AN是△ABC外角∠CAM的平分线，

C D ∴ ?MAE??CAE．…………………………………………2分 B (第8题) 1∴ ∠DAE=∠DAC+∠CAE=?180°=90°．……………3分

2又 ∵ AD⊥BC，CE⊥AN， ∴ ?ADC??CEA=90°， ………………………………4分 ∴ 四边形ADCE为矩形． ………………………………5分

（2）说明：给出正确条件得1分，证明正确得2分．

1BC时，四边形ADCE是正方形．…………6分 2证明：∵ AB=AC，AD⊥BC于D．

例如，当AD=

1BC． ………………………………………7分 21又 AD=BC，∴ DC=AD．

2由（1）四边形ADCE为矩形，

∴ 矩形ADCE是正方形．

D′ 点D落到D′ 9、（2007山东青岛）将平行四边形纸片ABCD按如图方式折叠，使点C与A重合，处，折痕为EF．

（1）求证：△ABE≌△AD′F；

F A （2）连接CF，判断四边形AECF是什么特殊四边形？证明你的结论．证明：⑴ 由折叠可知：∠D＝∠D′，CD＝AD′，∠C＝∠D′AE． ∵四边形ABCD是平行四边形，

∴∠B＝∠D，AB＝CD，∠C＝∠BAD．………2′ ∴∠B＝∠D′，AB＝AD′，

B C E ∠D′AE＝∠BAD，即∠1＋∠2＝∠2＋∠3．

D′ ∴∠1＝∠3．

∴△ABE ≌△A D′F． ……………4′ ⑵ 四边形AECF是菱形．

F A 1 D 由折叠可知：AE＝EC，∠4＝∠5．

6 2 ∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC．

3 ∴∠5＝∠6．∴∠4＝∠6．∴AF＝AE． ∵AE＝EC， ∴AF＝EC． 4 5 又∵AF∥EC，

B C E ∴四边形AECF是平行四边形．

∵AF＝AE，

∴四边形AECF是菱形． 10、（2007四川资阳）如图8-1，已知P为正方形ABCD的对角线AC上一点(不与A、C重合)，PE⊥BC于点E，PF⊥CD于点F.

(1) 求证：BP=DP；

(2) 如图8-2，若四边形PECF绕点C按逆时针方向旋转，在旋转过程中是否总有BP=DP？若是，请给予证明；若不是，请用反例加以说明； 图8-1 图8-2

(3) 试选取正方形ABCD的两个顶点，分别与四边形PECF的两个顶点连结，使得到的两条线段在四边形PECF绕点C按逆时针方向旋转的过程中长度始终相等，并证明你的结论 .

⑴ 解法一：在△ABP与△ADP中，利用全等可得BP=DP. 解法二：利用正方形的轴对称性，可得BP=DP. ⑵ 不是总成立 .当四边形PECF绕点C按逆时针方向旋转，点P旋转到BC边上时，DP >DC>BP，此时BP=DP不成立.

说明：未用举反例的方法说理的不得分. ⑶ 连接BE、DF，则BE与DF始终相等. 在图8-1中，可证四边形PECF为正方形， 在△BEC与△DFC中，可证△BEC≌△DFC . 从而有 BE=DF 11、（2007南充）如图， 等腰梯形ABCD中，AB＝15，AD＝20，∠C＝30o．点M、N同时以相同速度分别从点A、点D开始在AB、AD（包括端点）上运动．

（1）设ND的长为x，用x表示出点N到AB的距离，并写出x的取值范围． （2）当五边形BCDNM面积最小时，请判断△AMN的形状．

∴ DC=

D

B M A N C D

解：（1）过点N作BA的垂线NP，交BA的延长线于点P． ………………（1分） 由已知，AM＝x，AN＝20－x．

∵ 四边形ABCD是等腰梯形，AB∥CD，∠D＝∠C＝30o， ∴ ∠PAN＝∠D＝30o． 在Rt△APN中，PN＝ANsin∠PAN＝

1（20－x）， 2

………………………………（3分）

即点N到AB的距离为

1（20－x）． 2∵ 点N在AD上，0≤x≤20，点M在AB上，0≤x≤15， ∴ x的取值范围是 0≤x≤15． ………………………………（4分） （2）根据（1），S△AMN＝

1112AM?NP＝x（20－x）＝?x?5x． 244……（5分）

∵ ?1＜0，∴ 当x＝10时，S△AMN有最大值． 4…………………………（6分）

又∵ S五边形BCDNM＝S梯形－S△AMN，且S梯形为定值， ∴ 当x＝10时，S五边形BCDNM有最小值． …………………………（7分） 当x＝10时，即ND＝AM＝10，AN＝AD－ND＝10，即AM＝AN． 则当五边形BCDNM面积最小时，△AMN为等腰三角形． …………（8分）

B M A P N C D

12、（2007福建福州）为创建绿色校园，学校决定对一块正方形的空地进行种植花草，现向学生征集设计图案．图案要求只能用圆弧在正方形内加以设计，使正方形和所画的图弧构成的图案，既是轴对称图形又是中心对称图形．种植花草部分用阴影表示．请你在图③、图④、图⑤中画出三种不同的的设计图案．

提示：在两个图案中，只有半径变化而圆心不变的图案属于同一种，例如：图①、图②只能算一种．

① ② ③ ④ ⑤

解：以下为不同情形下的部分正确画法，答案不唯一．（满分8分）

13、（2007福建晋江）如图，四边形ABCD为矩形，AB＝4，AD＝3，动点M、N分别从D、B同时出发，以1个单位/秒的速度运动，点M沿DA向终点A运动，点N沿BC向终点C运动。过点N作NP⊥BC，交AC于点P，连结MP。已知动点运动了x秒。

⑴请直接写出PN的长；（用含x的代数式表示）

⑵若0秒≤x≤1秒，试求△MPA的面积S与时间x秒的函数关系式，利用函数图象，求S的最大值。

⑶若0秒≤x≤3秒，△MPA能否为一个等腰三角形？若能，试求出所有x的对应值；若不

D C 能，试说明理由。

解：⑴

12?4x； 3M N B

12?4x ⑵延长NP交AD于点Q，则PQ⊥AD，由⑴得：PN＝P ，

3A

则PQ?QN?PN?4?12?4x4?x。 33依题意，可得：AM?3?x

S?11422233?AM?PQ??(3?x)?x?2x?x2??(x2?3x)??(x?)2? 22333322y x=1.5 ∵0≤x≤1.5

即函数图象在对称轴的左侧，函数值S 随着x的增大而增大。

∴当x?1时，S有最大值 ，S最大值＝⑶△MPA能成为等腰三角形， 共有三种情况，以下分类说明： ①若PM＝PA，

∵PQ⊥MA ∴MQ＝QA＝x

又DM＋MQ＋QA＝AD ∴3x?3，即x?1

O 1 2 3 4 4。 32 1 x ②若MP＝MA，则MQ＝3?2x，PQ＝

4x，MP＝MA＝3?x 3在Rt△PMQ中，由勾股定理得：MP2?MQ2?PQ2 ∴(3?x)?(3?2x)?(x)，解得：x?③若AP＝AM， 由题意可得：AP?2243254（x?0不合题意，舍去） 435x，AM＝3?x 3∴

59x?3?x，解得：x? 38549，或x?时，△MPA是等腰三角形。 438综上所述，当x?1，或x?