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线性规划在运输问题中的应用
摘要：运输问题是运筹学和物流管理中非常重要的一个分支。为了令企业更快更好地编制运输方案，既能满足实际需求而又使总费用最少，提出了如何利用现有资源实现运输的最优化控制问题，通过实例以及运用WinQSB2.0软件包进行计算机模拟仿真计算，说明该问题研究的科学性、可靠性及其应用价值，，实现运输问题最优化求解的程序化运行。这样既缩短了运输公司对货物数量分配的研究时间，又为运输问题的决策提供了可靠的理论和实践指导。
关键词：运输问题 数学模型 线性代数 表上作业法 WinQSB2.0
一、引言
对企业来说，生产决策的主要目标是：在现有条件下，如何最有效地利用人力、物力、财力等各种资源，以取得最大的经济效益。[2]在物资短缺年代，企业可以靠扩大产量、降低制造成本去攫取第一利润。在物资丰富的年代，企业又可以通过扩大销售攫取第二利润。可是在新世纪和新经济社会，第一利润源和第二利润源已基本到了一定极限，目前剩下的一\未开垦的处女地\就是运输。降价是近几年家电行业企业之间主要的竞争手段，降价竞争的后盾是企业总成本的降低，即功能、质量、款式和售后服务以外的成本降价，也就是降低运输成本。
国外的制造企业很早就认识到了货运是企业竞争力的法宝，搞好运输可以实现零库存、零距离和零流动资金占用，是提高为用户服务，构筑企业供应链，增加企业核心竞争力的重要途径。在经济全球化、信息全球化和资本全球化的21世纪，企业只有建立现代货物运输结构，才能在激烈的竞争中，求得生存和发展。在此，运输对企业的重要性可窥一斑。
日常生活中，人们经常需要将某些物品由一个空间位置移动到另一个空间位置，这就产生了运输，如何判定科学的方案，使运输所需的总费用最少，就是运输的最优化决策问题。运输的最优化决策问题可以建立相应的数学模型，即通过数学运算进行解决。
二、研究现状
虽然表上作业法是简便、明了而有效，但是这个模型所得出的数据仅符合理想状态下，因为它考虑到的因素只有产地的数目、各产地的产量、销地的数目和个销地的销量，它没有真正地将货物在运输过
程中所遇到的不同状况计算进去，例如天气和路况等等。而且运输问题仅针对了企业中的运输支出进行分析解决，并没有从定量角度分析和动态角度思考、研究企业宏观的生产决策问题
三、文献回顾
刘茂华（2007）[3]：线性规划主要应用于解决最优化问题。根据运输问题的基本特征，通过实例对运输问题进行了优化分析，建立了运输问题的线性规划数学模型。将模型应用于一些特殊的运输问题，从而得到最优化的方案，提高了实际运输工作中的经济效益。运输问题关心的是以最低的总配送成本把供应中心(出发地)的任何产品运送到每一个接收中心(目的地)。每一个出发地都有一定供应量配送到目的地，每一个目的地都需要一定的需求量。
党晶（2011）[4]：运输问题是运筹学和物流管理中非常重要的一个分支。为了帮助现代物流公司更快更好地编制运输方案，既能满足实际需求而又使总费用最少，提出了如何利用现有资源实现运输的最优化控制问题，通过运用运筹学中有关数学模型的知识，实现运输问题最优化求解的程序化运行。这样既缩短了运输公司对货物数量分配的研究时间，又为运输问题的决策提供了可靠的理论和实践指导。
蒋翔，罗蔓，张丽君（2007）[5]：运输问题在工商管理中有着广泛的应用，可用单纯形法求解，但其结构上有特殊性，巧用管理运筹学的表上作业法求解更简单有效，从而节约计算时间和费用。
张家善（2010）[6]：随着2009年全国“两会”将物流业作为“十大振兴产业”之一，物流业的发展越来越受到重视。据数据统计，在机电产品的生产过程中，加工时间仅占10% 左右，而物流时间却占90% ，很大一部分生产成本消耗在物流过程中，运杂费接近总物流费用的50% 。因此，运输成了降低物流费用最有潜力的领域，它是物流活动的核心。在运输中，如何组织产品运输使运输费用最省，成为问题的关键。
四、相关概念介绍 4.1 表上作业法
表上作业法是求解运输问题的一种简便、明了而又有效的方法，求解过程在运输表上进行，它明显的优点在于能够直观地从表格中展示出数据。这是一种迭代求解法，迭代步骤为
第一步：按某种规划找出一个初始基可行解。
第二步：对现行解作最优性判断，即求各非基变量的检验数，判
别时候达到最优解。如已是最优解，则停止计算；如不是最优解，则进行下一步骤。
第三步：在表上对初始方案进行改进，找出新的基可行解，再按第二步进行判别，直至找出最优解。=
4.2 WinQSB2.0应用软件介绍
QSB是Quantitative Systems for Business的缩写，早期版本的操作系统在DOS下运行，WinQSB2.0是在Windows操作系统下运行的。WinQSB2.0是一种教学软件，对于非大型的问题一般都能计算，较小的问题还能演示中间的计算过程，特别适合多媒体课堂教学。
该软件可应用于管理科学、决策科学、运筹学及生产运作管理等领域的求解问题。
本文章运用了其中的Network Modeling程序，缩写为Net，名称是网络模型，应用范围为运输、指派、最大流、最短路、最小支撑树、货郎担等问题。
4.3 运输问题
运输问题的典型数学语言表述为：某种物品有m个产地A1，A2，?，Am，各产地的产量是a1，a2，?，am；有n个销地B1，B2，?，Bn，各销地的销量分别为b1,b2,?,bn,假定从产地Ai(i=1,2，?，m)向销地Bj(j=1,2,?, n)运输单位物品的运价是cij，问怎样调运这些物品才能使运费最少？
从运输问题的典型数学模型可见，运输问题是一个线性规划问题，当然可以用单纯形法求解。但由于这类问题的模型结构比较特殊，一种较单纯形法更为简便的表上作业法更适合使用。
运输问题是泛指一类问题，这类问题不仅在物资调运中经常遇到，且在其他工作中也会有类似情况出现，如机床加工零件是，如何分配m台机床和n种零件，使总加工费用最少。
五、运输问题模型应用分析
某混凝土构件公司有3个碎石生产厂，供应4个搅拌站碎石。各碎石生产厂的产量和各搅拌站的碎石需求量以及每个碎石生产厂到各个搅拌站的距离如下表所示，求是总运输量最小的方案。 销地产地 B1 B2 B3 B4 产量 A1 3 2 7 6 500 A2 7 5 2 3 600 A3 1 5 4 6 300
销量 600 400 200 200 1400 （1）由于总产量和总销量均为1400，故知这是一个产销平衡运输问题。
用x表示由第i个产地运往第j个销地的产品数量，即可写出该问题的数学模型：
ijmin z?3x11?2x12?7x13?6x14?7x21?5x22?2x23?3x24?x31?5x32?4x33?6x34
x11?x12?x13?x14?500x21?x22?x23?x24?600
x31?x32?x33?x34?300 x11?x21?x31?600 x12?x22?x32?400 x13?x23?x33?200 x14?x24?x34?200
2，3；j?1,2,3,4 x?0，i?1，ij
（2）利用表上作业法求解以上线性规划模型，通过WinQSB软件
Network Modeling模型运算求解如下表所示：
表1
（3）按照例题的表格分别输入数据，如表2所示
表2
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