比较二次根式大小的几种方法

比较二次根式大小的几种方法

726009 商洛市商州区杨斜初中 张宝成 13080993934

二次根式的化简具有较强的技巧性。在不求近似值的情况下，比较二次根式的大小同样具有较强的技巧性。下面就一些常见的比较二次根式大小的方法予以归纳。

1、根式变形法

将形如ab与cd的根式化成

a2b与

c2d的形式，然后比较

ab与

2cd的大小。

例1 比较35与53的大小。 解：分别将两个二次根式进行变形，得 35=

232?5=45，53=

5?3=

275。a?b

∵ 75 >45 ∴ 53 >35

点评 ：上述解法的依据是：当a> 0,b> 0 时，（1）若 a≥b，则a?b；（2）若a ≤b，则a?b。

2、平方法

利用平方将形如ab与cd的根式化成ab与cd的大小。若ab≥cd，则ab ≥cd；若ab≤cd，则ab≤ cd。

例2 比较32与23的大小。 解：(32222222)2?18,(23)2?12。

∵ 18>12 ∴32>23。

点评：运用本方法的依据是：当a> 0,b> 0 时，若a ≥b，则a ≥ b；若

22a2≤

b2，则a≤b。

3、分母有理化法

将分母有理化并化成同分母的分数后，根据分子的大小关系来判断二次根式的大小。

例3 比较

223?1与

12?1的大小。

解：

12?13?1(3?1)(3?1)?2?1(2?1)(2?1)=

2(3?1)?3?1

?2?1

∵3?1>2?1， ∴

23?1>

12?1。

4、分子有理化法

在比较两个二次根式型无理数的差的大小时，我们通常要将其进行分子有理化，然后比较它们的大小。

例4 比较15?14与14?13的大小。 解：15?14 =

(15?14)(15?14)(15?14)

=

115?1414?13

。

=

(14?13)(14?13)(14?13)

=

114?13

∵15?14>14?13， ∴

115?14<

114?13，

∴15?14 <14?13。 5、用等式的基本性质比较法

例5 比较7-6与6-5的大小。

解法1： ∵ 7-6+（6+5）=7+5，

6-5+（6+5）=6+6。

又(

7?5)=12+2

235，(6?6)2=12+236，

∴7+5 <6+6, 即

7-6 <6-5。

点评：本解法运用了下面两个性质：（1）都加上同一个数后，两数的大小关系不变；（2）非负底数和它们的二次幂的大小关系一致。

解法2：将它们分别乘这两个数的有理化因式的积，得

(7-

6)(7+6)（6+5）=6+5,

7+6.

(6-5) (7+6)（6+5）= ∵7+6>6+5， ∴7-

6<6-5。

点评：这一解法的根据是：将两数同乘以一个正数后，两数的大小关系不变。 解法3：作差、平方综合比较法：

（7-6）-（6-5）=（7+5）-（6+6）， ∵(∴(7?5)=12+2

2235，(26?6),

2=12+236.

7?5) <(6?6)又∵7+5>0，6+6>0， ∴7+5 <6+6。

故（7+5）-（6+6）<0， 即（7-6）-（6-5）<0。 ∴即7-6<

6-5。

6、作差比较法

在对两数的大小进行比较时，经常运用如下性质：（1）若a-b >0 ，则a >b；(2) 若a -b <0，则a

例6 比较

2?13?1与

23的大小。

解：∵

2?13?1-

23

=

3(2?1)?2(3?1)3(3?1)3?23(3?1)

=>0，

23∴

2?13?1>。

7、作商比较法

与作差比较法相对应的还有一种方法，即作商比较法。它运用的是如下性质：

aa当a> 0,b> 0 时，（1）若>1，则a>b;(2) 若<1，则a

bb例7 比较5-3与2+3的大小。 解：

5?32?3=

(5?3)(2?3)(2?3)(2?3)=13-73=13-147。

∵0<13-147<1， ∴5-3< 2+3。

8、中间值比较法

ac比较形如与的大小，有时候需要借助中间值。

bd例8 比较

37?237?1与

113?1113?2的大小。

解：因为

37?237?1>1，

113?1113?2<1，

37?237?1113?1113?2所以，可以借助中间值“1”来比较，即例9 比较7+3与87-3的大小。 解：∵2<7<3，∴7+3<6.

>。

又∵9<87<10，∴ ∴7+3<87-3。

87-3>6，

点评：恰当选择介于两个无理数之间的中间值，利用数值的传递性进行比较。 综上所述，比较含有根式的无理数的大小有多种方法，其中根式变形法、平方法是最基本的方法。当然，对于具体的问题要作具体的分析，以便用最佳的方法求出正确的结果。