优化方案高考数学（新课标全国卷·理科）二轮复习第一部分专题七第2讲专题强化精练提能

?x＝22t，

1．(2015·江西省质量检测，T23)已知直线l的参数方程是?

2y＝?2t＋4

π

C的极坐标方程为ρ＝2cos?θ＋?.

4??

(1)求圆心C的直角坐标；

(2)试判断直线l与⊙C的位置关系．

解：(1)因为ρ＝2cos θ－2sin θ， 所以ρ2＝2ρcos θ－2ρsin θ，

所以圆C的直角坐标方程为x2＋y2－2x＋2y＝0.

22?

. ，－2??2

(2)因为直线l的普通方程为x－y＋42＝0，⊙C的半径R＝1， 所以圆心C的直角坐标为?圆心C到直线l的距离d＝所以d>R.

所以直线l与⊙C相离．

(t是参数)，⊙2

?2＋2＋42??22?

2

＝5，

?

2．(2015·高考陕西卷)在直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为?3

y＝?2t解：(1)由ρ＝23sin θ，得ρ2＝23ρsin θ， 从而有x2＋y2＝23y，所以x2＋(y－3)2＝3. 13(2)设P?3＋t，t?，又C(0，?22?

1?2?3?则|PC|＝ ?3＋2t?＋?2t－

3)，

1

x＝3＋t，

2

(t为参

数)．以原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，⊙C的极坐标方程为ρ＝23sin θ.

(1)写出⊙C的直角坐标方程；

(2)P为直线l上一动点，当P到圆心C的距离最小时，求P的直角坐标．

?3＝t2＋12， ?

2故当t＝0时，|PC|取得最小值， 此时，点P的直角坐标为(3，0)．

3．已知圆C：x2＋y2＝4，直线l：x＋y＝2.以O为极点，x轴的正半轴为极轴，取相同的单位长度建立极坐标系．

(1)将圆C和直线l的方程化为极坐标方程； (2)P是l上的点，射线OP交圆C于点R，又点Q在射线OP上且满足|OQ|·|OP|＝|OR|2，当点P在l上移动时，求点Q轨迹的极坐标方程．

解：(1)将x＝ρcos θ，y＝ρsin θ代入圆C和直线l的直角坐标方程得其极坐标方程为 C：ρ＝2，l：ρ(cos θ＋sin θ)＝2.

(2)设P，Q，R的极坐标分别为(ρ1，θ)，(ρ，θ)，(ρ2，θ)， 则由|OQ|·|OP|＝|OR|2得ρρ1＝ρ22.

又ρ2＝2，ρ1＝

2ρ2

，

cos θ＋sin θ所以＝4，

cos θ＋sin θ故点Q轨迹的极坐标方程为ρ＝2(cos θ＋sin θ)(ρ≠0)．

3

x＝5＋t，

2

4．(2015·高考湖南卷)已知直线l：(t为参数)．以坐标原点为极点，x轴

1

y＝3＋t

2

的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为ρ＝2cos θ.

(1)将曲线C的极坐标方程化为直角坐标方程；

(2)设点M的直角坐标为(5，3)，直线l与曲线C的交点为A，B，求|MA|·|MB|的值．

?

??

解：(1)ρ＝2cos θ等价于ρ2＝2ρcos θ.

将ρ2＝x2＋y2，ρcos θ＝x代入ρ2＝2ρcos θ得曲线C的直角坐标方程为x2＋y2－2x＝0.

?x＝5＋23t，(2)将?(t为参数)代入x＋y－2x＝0，

1

y＝3＋t?2

2

2

得t2＋53t＋18＝0.

设这个方程的两个实根分别为t1，t2，则由参数t的几何意义知，|MA|·|MB|＝|t1t2|＝18. 5．(2014·高考辽宁卷)将圆x2＋y2＝1上每一点的横坐标保持不变，纵坐标变为原来的2倍，得曲线C.

(1)写出C的参数方程；

(2)设直线l：2x＋y－2＝0与C的交点为P1，P2，以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，求过线段P1P2的中点且与l垂直的直线的极坐标方程．

解：(1)设(x1，y1)为圆上的点，在已知变换下变为曲线C上的点(x，y)，

??x＝x1，

依题意，得?

?y＝2y1.?

y?2?222

由x1＋y1＝1得x＋?2?＝1，

即曲线C的方程为

x2＋

y2

＝1. 4

??x＝cos t，

故C的参数方程为?(t为参数)．

?y＝2sin t?

y2?2??x＋4＝1，?x＝1，??x＝0，

(2)由?解得?或?

????y＝0?y＝2.?2x＋y－2＝0

1?1

，1，所求直线斜率为k＝，不妨设P1(1，0)，P2(0，2)，则线段P1P2的中点坐标为??2?2

11

x－?， 于是所求直线方程为y－1＝?2?2?化为极坐标方程，并整理得2ρcos θ－4ρsin θ＝－3，

3

即ρ＝.

4sin θ－2cos θ???x＝－4＋cos t，?x＝6cos θ，

6．(2015·郑州模拟)已知曲线C1：?(t为参数)，C2：?(θ为

?y＝3＋sin t?y＝2sin θ??

参数)．

(1)化C1、C2的方程为普通方程，并说明它们分别表示什么曲线；

π

(2)若C1上的点P对应的参数为t＝，Q为C2上的动点，求PQ的中点M到直线C3：

2

?x＝－33＋3α

(α为参数)距离的最小值． ?

y＝－3－α?

x2y2

22

解：(1)C1：(x＋4)＋(y－3)＝1，C2：＋＝1，

364

C1为圆心是(－4，3)，半径是1的圆；

C2为中心是坐标原点，焦点在x轴上，长半轴长是6，短半轴长是2的椭圆． π

(2)当t＝时，P(－4，4)，Q(6cos θ，2sin θ)，故M(－2＋3cos θ，2＋sin θ)，

2C3为直线x＋3y＋63＝0， 点M到C3的距离d＝

|－2＋3cos θ＋23＋3sin θ＋63|

12＋3

??π??＝?43＋3sin?θ＋?－1?，

3????

?π?

从而当sin?θ＋?＝－1时，d取最小值33－1.

3??

3

x＝－1－t，

2

7．已知直线l的参数方程为(t为参数)，以坐标原点为极点，x轴的正

1

y＝3＋t2

π

半轴为极轴建立极坐标系，圆C的极坐标方程为ρ＝4sin?θ－?.

6??

(1)求圆C的直角坐标方程；

π

(2)若P(x，y)是直线l与圆面ρ≤4sin?θ－?的公共点，求3x＋y的取值范围．

6??

?

??

?π?

解：(1)因为圆C的极坐标方程为ρ＝4sin?θ－?，

6???π?31

所以ρ2＝4ρsin?θ－?＝4ρ?sin θ－cos θ?.

2?2?6??

又ρ2＝x2＋y2，x＝ρcos θ，y＝ρsin θ， 所以x2＋y2＝23y－2x，

所以圆C的直角坐标方程为x2＋y2＋2x－23y＝0. (2)设z＝3x＋y，

由圆C的方程x2＋y2＋2x－23y＝0得， (x＋1)2＋(y－3)2＝4，

所以圆C的圆心是(－1，3)，半径是2.

?x＝－1－23t，

将?代入z＝

1

?y＝3＋2t3x＋y得，z＝－t.

又直线l过C(－1，3)，圆C的半径是2， 所以－2≤t≤2， 所以－2≤－t≤2，

即3x＋y的取值范围是[－2，2]．

??x＝acos φ，

8．(2015·平顶山模拟)在平面直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为?

?y＝bsin φ?

(a>b>0，φ为参数)，在以O为极点，x轴的正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C2是圆心在ππ3

极轴上，且经过极点的圆．已知曲线C1上的点M?1，?对应的参数φ＝，射线θ＝与

?

2?3曲线Cπ

2交于点D??

1，3??.

(1)求曲线C1，C2的方程；

(2)若点A(ρθ)，B??ρπ1，11

2，θ＋2??在曲线C1上，求ρ2＋ρ2的值．

12

解：(1)将M?3?1，2?π??x＝acos φ，?及对应的参数φ＝3代入??

?

y＝bsin φ，?π

得?1＝acos ?3，??a＝??3bsin π即?2，??

b＝1，

2＝3，

所以曲线C??x＝2cos φ，1的方程为??sin φ(φ为参数)，

?y＝或x24

＋y2

＝1. 设圆C2的半径为R，由题意，圆C2的方程为ρ＝2Rcos θ(或(x－R)2＋y2＝R2)． 将点D??π?1，π?

3??

代入ρ＝2Rcos θ，得1＝2Rcos3，即R＝1.

(或由D???1，π?3??，得D?1?2，3

2??，代入(x－R)2＋y2＝R2，得R＝1)

所以曲线C2的方程为ρ＝2cos θ或(x－1)2＋y2＝1. (2)因为点A(ρ，θ)，B?π1?

??ρ2，θ＋2??在曲线C1上，

所以ρ21cos2

θ4

＋ρ21sin2

θ＝1，

ρ22sin2

θ4

＋ρ22cos2

θ＝1，

所以11?cos2θ??sin2θ?ρ21＋ρ2＝?＋sin2θ??＋??4＋cos2θ?5

?＝4. 2?4

3