全国初中数学竞赛辅导(初3)-第19讲-平面几何中的几个著名定理

说明 (1)如果P点在△ABC外，同样可证得上述结论，但P点不能在直线AB，BC，CA上，否则，定理的结论中的分母出现零，分子也出现零，这时，定理的结论应改为

BD×CE×AF=DC×EA×FB，

仍然成立．

(2)塞瓦定理的逆定理也成立，即“在△ABC的边BC，CA，AB上分别取点D，E，F，如果

那么直线AD，BE，CF相交于同一点．”

证 如图3－102，设AD和BE相交于P，作直线CP，交直线AB于F′，由塞瓦定理得

所以 F′B=FB，

即F′与F重合，所以AD，BE，CF相交于同一点． 塞瓦定理的逆定理常被用来证明三线共点．

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例3 求证：三角形的三条中线、三条内角平分线和三条高所在的直线分别相交于同一点．

证 (1)如果D，E，F分别是△ABC的边BC，CA，AB的中点，则

由塞瓦定理的逆定理得中线AD，BE，CF共点．

(2)如果D，E，F分别是△ABC的内角平分线AD，BE，CF与边BC，CA，AB的交点，则

由塞瓦定理的逆定理得角平分线AD，BE，CF共点． (3)设D，E，F分别是△ABC的高AD，BE，CF的垂足．

(i)当△ABC是锐角三角形时(如图3－103)，D，E，F分别在BC，CA，AB上，有

BD=ccosB，DC=bcosC，CE=acosc， EA=ccosA，AF=bcosA，FB=acosB， 所以

由塞瓦定理的逆定理得高AD，BE，CF共点． (ii)当△ABC是钝角三角形时，有

BD=ccosB，DC=bcosC，CE=acosC， EA=ccos(180°-A)=-ccosA，

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AF=bcos(180°-A)=-bcosA,

FB=acosB，

所以

由塞瓦定理的逆定理，得高AD，BE，CF共点．

(iii)当△ABC是直角三角形时，高AD，BE，CF都经过直角顶点，所以它们共点．

例4 在三角形ABC的边上向外作正方形，A1，B1，C1是正方形的边BC，CA，AB的对边的中点，证明：直线AA1，BB1，CC1相交于一点．

证 如图3－104．设直线AA1，BB1，CC1与边BC，CA，AB的交点分别为A2，B2，C2，那么BA2：A2C等于从点B和C到边AA1的垂线的长度之比，即

其中∠θ=∠CBA1=∠BCA1．同理

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将上述三式相乘得

根据塞瓦定理的逆定理，得AA1，BB1，CC1共点． 3．斯台沃特定理

定理 △ABC的边BC上任取一点D，若BD=u，DC=v，AD=t，则

证 过A作AE⊥BC，E为垂足(如图3－105)，设DE=x，则有

AE2=b2-(v-x)2=c2-(u+x)2=t2-x2，

(若E在BC的延长线上，则v-x换成x-v．)于是得

消去x得

(u+v)2=b2u+c2v-uv(u+v)，

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