（课标通用）2018年高考数学一轮复习课时跟踪检测76理

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[高考基础题型得分练]

1．[2017·江西九江模拟]已知函数f(x)＝|x－3|－ |x－a|.

1

(1)当a＝2时，解不等式f(x)≤－；

2

(2)若存在实数a，使得不等式f(x)≥a成立，求实数a的取值范围． 解：(1)∵a＝2，

1，x≤2，??

∴f(x)＝|x－3|－|x－2|＝?5－2x，2

??－1，x≥3，

x≤2，??1

∴f(x)≤－等价于?1

21≤－?2?

3或x≥3，

2

或?1

5－2x≤－?2?

x≥3，??

或?1

－1≤－，?2?

解得

11

≤x＜4

?11?∴不等式的解集为?，＋∞?. ?4?

(2)由不等式性质可知，

f(x)＝|x－3|－|x－a|

≤|(x－3)－(x－a)|＝|a－3|，

∴若存在实数x，使得不等式f(x)≥a成立， 3

则|a－3|≥a，解得a≤，

23??∴实数a的取值范围是?－∞，?. 2??

2．[2017·甘肃兰州模拟]已知函数f(x)＝|2x－a|＋a. (1)若不等式f(x)≤6的解集为[－2,3]，求实数a的值；

(2)在(1)的条件下，若存在实数n使f(n)≤m－f(－n)成立，求实数m的取值范围． 解：(1)由|2x－a|＋a≤6，得|2x－a|≤6－a，

1

∴a－6≤2x－a≤6－a，即a－3≤x≤3， ∴a－3＝－2，∴a＝1.

(2)由(1)知，f(x)＝|2x－1|＋1， 令φ(n)＝f(n)＋f(－n)， 则φ(n)＝|2n－1|＋|2n＋1|＋2

??11＝?4，－

1?2＋4n，n>，?2

1

2－4n，n≤－，2

∴φ(n)的最小值为4，故实数m的取值范围是[4，＋∞)． 3．[2017·河南郑州模拟]已知函数f(x)＝|3x＋2|. (1)解不等式f(x)<4－|x－1|；

11

(2)已知m＋n＝1(m，n>0)，若|x－a|－f(x)≤＋(a>0)恒成立，求实数a的取值范围．

mn解：(1)不等式f(x)<4－|x－1|， 即|3x＋2|＋|x－1|<4.

2

当x<－时，即－3x－2－x＋1<4，

352解得－

43

2

当－≤x≤1时，即3x＋2－x＋1<4，

321解得－≤x＜；

32

当x>1时，即3x＋2＋x－1<4，无解．

?51?综上所述，x∈?－，?.

?42?

11?11?nm(2)＋＝?＋?(m＋n)＝1＋1＋＋≥4，

mn?mn?

mn令g(x)＝|x－a|－f(x)＝|x－a|－|3x＋2|

??2＝?－4x－2＋a，－≤x≤a，

3

??－2x－2－a，x>a，

22x＋2＋a，x<－，

3

2

22

∴x＝－时，g(x)max＝＋a，要使不等式恒成立，

33210

只需g(x)max＝＋a≤4，即0

33

?10?故实数a的取值范围为?0，?.

3??

11

4．已知a，b，c均为正实数，且互不相等，且abc＝1，求证：a＋b＋c＜＋＋

a1

c. 证明：证法一：∵a，b，c均为正实数，且互不相等，且abc＝1， ∴a＋b＋c＝1

1

bc＋

ca＋1

ab

1

111＜b＋cc＋1aa＋

1b1112＋2＋2＝a＋b＋c. ∴a＋b＋c＜1a＋11b＋c.

证法二：∵11

a＋1

b≥2ab＝2c，

11

b＋1c≥2bc＝2a， 1

＋1ca≥2

1

ac＝2b，

∴以上三式相加，得1a＋1b＋1

c≥ a＋b＋c.

又a，b，c互不相等， ∴1a＋1b＋1

c＞a＋b＋c.

证法三：∵a，b，c是不等正数，且abc＝1， ∴1a＋1b＋1

c＝bc＋ca＋ab

＝

bc＋ca＋ca＋abab＋bc2

2

＋2

＞abc2

＋a2

bc＋ab2

c＝a＋b＋c， ∴a＋b＋c＜111

a＋b＋c.

[冲刺名校能力提升练]

b3

1．[2017·辽宁沈阳模拟]设函数f(x)＝|2x＋1|－|x－4|. (1)解不等式f(x)>0；

(2)若f(x)＋3|x－4|>m对一切实数x均成立，求实数m的取值范围． 解：(1)当x≥4时，f(x)＝2x＋1－(x－4)＝x＋5>0，得x>－5，所以x≥4； 当－1

2≤x＜4时，f(x)＝2x＋1＋x－4＝3x－3>0，得x>1，所以1

当x<－1

2时，f(x)＝－x－5>0，得x<－5，

所以x<－5.

综上，原不等式的解集为(－∞，－5)∪(1，＋∞)． (2)f(x)＋3|x－4|＝|2x＋1|＋2|x－4| ≥|2x＋1－(2x－8)|＝9， 当且仅当－1

2≤x≤4时等号成立，

所以m<9，即m的取值范围为(－∞，9)． 2．[2017·广西南宁模拟]已知函数f(x)＝|x－a|. (1)若f(x)≤m的解集为[－1,5]，求实数a，m的值；

(2)当a＝2且0≤t≤2时，解关于x的不等式f(x)＋t≥f(x＋2)． 解：(1)∵|x－a|≤m， ∴－m＋a≤x≤m＋a. ∵－m＋a＝－1，m＋a＝5， ∴a＝2，m＝3.

(2)f(x)＋t≥f(x＋2)可化为|x－2|＋t≥|x|. 当x∈(－∞，0)时，2－x＋t≥－x,2＋t≥0， ∵0≤t≤2，∴x∈(－∞，0)；

当x∈[0,2)时，2－x＋t≥x，x≤1＋t2，

∵1≤1＋t2

≤2，

∴0≤t＜2时，0≤x≤1＋t2，t＝2时，0≤x＜2；

当x∈[2，＋∞)时，x－2＋t≥x，t≥2，

当0≤t＜2时，无解，当t＝2时，x∈[2，＋∞)． ∴当0≤t＜2时原不等式的解集为???

－∞，t2＋1???

；

当t＝2时x∈R.

4

3.[2017·辽宁联考]已知函数f(x)＝log2(|x＋1|＋ |x－2|－m)．

(1)当m＝7时，求函数f(x)的定义域；

(2)若关于x的不等式f(x)≥2的解集是R，求m的取值范围． 解：(1)由题设知，|x＋1|＋|x－2|>7， 不等式的解集是以下不等式组解集的并集：

??x≥2，?

?x＋1＋x－2>7?

??－1≤x<2，

或?

?x＋1－x＋2>7?

??x<－1，

或?

?－x－1－x＋2>7，?

解得函数f(x)的定义域为(－∞，－3)∪(4，＋∞)． (2)不等式f(x)≥2，即|x＋1|＋|x－2|≥m＋4，

∵x∈R时，恒有|x＋1|＋|x－2|≥|(x＋1)－(x－2)|＝3， 不等式|x＋1|＋|x－2|≥m＋4的解集是R， ∴m＋4≤3，∴m的取值范围是(－∞，－1]．

4．[2017·吉林长春质检](1)已知a，b都是正数，且a≠b，求证：a＋b>ab＋ab；

3

3

2

2

a2b2＋b2c2＋c2a2(2)已知a，b，c都是正数，求证：≥abc.

a＋b＋c证明：(1)(a＋b)－(ab＋ab)＝(a＋b)(a－b). 因为a，b都是正数，所以a＋b>0. 又a≠b，所以(a－b)>0. 于是(a＋b)(a－b)>0， 即(a＋b)－(ab＋ab)>0， 所以a＋b>ab＋ab. (2)因为b＋c≥2bc，a>0， 所以a(b＋c)≥2abc.① 同理，b(a＋c)≥2abc.②

2

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3

3

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2

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3

2

22

2

3

3

2

2

2

c2(a2＋b2)≥2abc2.③

①②③相加，得2(ab＋bc＋ca)≥2abc＋2abc＋2abc， 从而ab＋bc＋ca≥abc(a＋b＋c)． 由a，b，c都是正数，得a＋b＋c>0，

22

22

22

22

22

22

2

2

2

a2b2＋b2c2＋c2a2

因此≥abc.

a＋b＋c 5