理论力学解题思路剖析

（理想约束反力）； c)只求加速度。则优先考虑用功率方程，否则用动静法。（或用功率方程取代动静法中的一个方程）此法不推荐

3) 动能定理之机械能守恒原理实际上也可用动能定理积分形式做题，难度差异不大，故不介绍。

4）至于运动学补充方程来源，每种方法均相同。

问题3：动能定理有哪些难点？

1）积分形式求速度问题：弹簧问题 T1=0，处于静平衡位置

T=t1；m1速度为V1,求偏离静平衡位置X时的V2

上述问题只要静平衡位置是重力和弹簧力(弹簧变形量L0)共同作用的结果，则取静平衡位置为零势能点，认为物体无重力，弹簧力F=kx(x为弹簧相对于静平衡位置的变形量)，应用如下公式

12mv2?212mv1?212kx2

刚体弹簧问题也类似。

2）导数形式求加速度问题：弹簧问题也同上。

二 典型习题

以下通过例题来演示上述介绍的方法。

第12章 达朗贝尔原理（动静法）

一 问题

问题1：动力学有多种方法，如何选取合理的解题方法？

答：动力学有多种解题方法，所学的有a）动量/矩

b)动静法

c)动能定理导数形式（功率方程），三种方法均可求系统加速度方法，但难

易不同。选取合理的解题方法如下:

当a)系统自由度只有一个（即只有一个未知a、?）； b)所有未知力不作功（理想约束反力）； c)只求加速度。则优先考虑用功率方程，否则用动静法。（或用功率方程取代动静法中的一个方程）此法不推荐。

至于运动学补充方程来源，每种方法均相同。若研究的涉及一个过程，还需用动能定理积分形式来给出所求时刻的速度量，从而得到法向加速度量。

原因：

动能定理导数形式（实际上就是功率方程）：

?wdt?dTdt，得到一个方程，可

求理想约束力系统的加速度量a,?。该方程实际上是与动量/矩定理线性相关，可替代动量/矩中的一个方程。比如对2个刚体，由动量/矩定理可列出6个独立的动力学方程，则功率方程必可由此6个独立的动力学方程推出，故7个方程不可同时使用。一般对于一个自由度系统，又未给出任何加速度信息，且所有的未知力不做功，用一个功率方程（联合运动学关系），就可容易求得加速度量，否则，使用应用功率方程将问题变得复杂，思路不清晰，尽量避免使用。此外，功率方程实际上就是采用一般坐标的一个自由度系统的拉格朗日方程的变形。同理，一般对于n个自由度系统，又未给出任何加速度信息，且所有的未知力不做功，用n个拉格朗日方程（由于采用广义坐标，各运动量是独立的，不用联合运动学关系），就可容易求得n个加速度量，推荐使用。若有未知力做功，使用拉格朗日方程将问题变得复杂，思路

不清晰，尽量避免使用。采用动静法更合理。在后面动静法中将明白其原因。

问题2：动静法与动量/矩定理相比，有何优点？

答：一、由动量/矩定理可推出动静法，并且可以证明，只要将每个刚体将其加速度量转换为惯性力/矩用下文的方法正确简化，便可对任意点取矩，并可选取多个刚体为研究对象，对对任意点取矩，完全可以应用静力学的方法列力/矩方程，因此，比动量/矩定理必须取分离体并对特定点取矩要简单得多，因为可不引入不待求得力（如刚体间的作用力）。这在求解多刚体动力学问题时优点更突出。

问题3：动静法具体解题方法是什么？

答：一、对每个刚体将其加速度量用惯性力/矩简化，惯性力作用在各自得简化点D上（D必须满足四个条件之一，同动量矩定理的条件相同）

FICx?macy（图中FICX方向应与acx相反）

FIcy?macy（图中FICyX方向应与acyx相反）

MID?JD?（图中MID转向应与?相反）

按上述简化后，把惯性力矩MID当作力偶，FICX当作静力学中的力，应用静力学所有方法求解，当然也应受静力学列方程的限制条件限制。

二、到底由静力学要列几个力/矩方程？

1）对于n个自由度系统，若已给出m个加速度信息，则需由静力学列

s=n-m个力/矩方程来弥补加速度信息的不足。

2）若还需求k个真实力，则还需至少补充k个力/矩方程来求k个真实

力（尽量只补充k个，有的问题可能如同静力学问题一样，必须引入新的不待求的未知力，这样的话，也应越少越好）。

3）故一般由静力学要列n-m+k个力/矩方程。

4）为了列n-m+k个力/矩方程，采用静力学中提到的方法，尽量不要引入不待求的新的力的原则下，先从整体3个方程中看有几个仅与待求量有关的力/矩

方程。再从局部，从待求量（惯性力也看作待求未知力）出发，应用顺藤摸瓜法，即从待求量出发，向其周围前后左右，由近及远，延伸到光滑铰链连接点D处,对点D 取矩，

依次类推。若碰到其他不待求未知量，表明很可能此路不通，不要再从此处突破。

三 补充上述静力学方程中所出现的加速度关系

求加速度与动量/矩定理一样，要从运动学体现刚体与刚体，刚体与外

部间的联系来寻找。由动点动系、同一刚体两点加速度关系得到加速度矢量方程后，类似线形代数解方程的方法，消去静力学方程中未出现的加速度量，得到仅包含静力学方程中所出现的加速度的方程。若n-m+k静力学方程中有L个未知量（包括真实力和加速度），则在这一步骤要得到L-（n-m+k）加速度方程。联立解L个方程即可。

其中的法向加速度量则通过运动学的求速度的方法得到。若涉及一个运

动过程问题，还需用动能定理的积分形式给出一个速度方面的方程。

问题4： 具体难点？

1）惯性力的简化 a)定轴：最好向O点简化 b)平动：FIc?mac 2)列力或矩方程方法

a)若根据已知条件，用运动学知识便可求出任意点acx,acy,?1；则在列力方程时，列出力方程个数与方程中含有未知力个数一样。

b)若需已知n个加速度acx,?i，才能由运动学知识求出任意点acx,acy,?1，则在列力方程时，列出力方程数目应比方程中出现力的未知量数目多n个。

值得注意的是：

动量矩只适用于只有一个刚体的情形

动静法不仅适用于只有一个刚体，也可适用于多个刚体的情形。

二 典型习题

以下通过例题来演示上述介绍的方法。