习题1解

习题一 随机事件和概率

（A）

1.1 假设市场上出售甲厂和乙厂生产的电视机．考虑事件A?{甲厂产品畅销}，B?{乙厂产品畅销}，试说明下列事件的含义：A,B,A?B,AB；A?B,AB,AB,A?B．

解 易见

A={甲产品不畅销}，B={乙产品不畅销}；

A?B＝{甲、乙两种产品至少有一种畅销}；

AB＝{甲、乙两种产品都畅销}；

A?B?AB＝{甲、乙两种产品至少有一种不畅销}；

AB?A?B＝{甲、乙两种产品都不畅销}； A?B?AB＝{甲产品畅销、乙产品不畅销}．

1.2 试说明事件A,B,C,D的含义：

(1) 自0, 1, 2,?,9等十个阿拉伯数字中随意选八个（允许重复），组成一个八位电话号码（第一位数不为0）．引进事件：Bi?{号码中不含数字i}，Bi?{号码中含数字i}(i=0, 1,?,9)，

A?B0B9,B?B0?B9,C?B0?B9,D?B0?B9．

(2) 靶子由半径为r1?r2???r10的同心圆构成，以Ai表示事件“命中半径为ri的圆”(i=1,2,?,10)，

A?A3?A4； B??Ai； C??Ai； D??Ai；

i?1i?3i?16610解 (1) 易见

B0B9?{号码中不含0和9}； B0?B9?{号码中不含0或9}；

B0B9?B0?B9＝{号码中含9不含0}；

B0?B9?B0B9 = {号码中含0或9}．

(2) A?{命中半径为r3和r4的圆所交成的圆环}；B={命中半径为r6的圆}；C={命中半径为r6的圆}；D={命中半径为r1的圆}．

1.3 已知事件A和B满足条件：

(A?X)(A?X)?A?X?A?X?B，

求事件X．

解 根据事件的运算及其性质，可得

AA?AX?XA?XX?AX?AX?B, (A?A)X?X?(A?A)X?B, X?B, X?B.

1.4 对于任意事件A,B,C，证明下列关系式：

—习题解答●1.1—

(1) (A?C) (B?C)?AB?C（第二分配律）； (2) (A?B)(A?B)(A?B)(A?B)??； (3) AB?AB?AB?AB?AB?AB； (4) A?BC?(A?B)?(A?C)；

(5) A?(B?C)?(A?B)?C．

证 (1) 由事件运算的分配律和交换律，可见

(A?C) (B?C)?(A?C)B?(A?C)C

?AB?BC?AC?C?AB?C．(2) 由事件运算的性质，有

(A?B)(A?B)?AA?AB?BA?BB?A?A(B?B)?A； (A?B)(A?B)?AA?AB?BA?BB?A?A(B?B)?A；(A?B)(A?B)(A?B)(A?B)?AA?? ．(3) 由事件运算的性质，有

AB?AB?AB?AB?AB?(A?A)B?(A?A)B?AB ?B?B?AB???AB?AB．(4) 由事件运算的基本性质，有

A?BC?ABC?A(B?C)?AB?AC?(A?B)?(A?C)．

(5) 运用事件运算的基本性质，可得

A?(B?C)?AB?C?ABC?(AB)C?(A?B)?C．

1.5 设A,B和C是任意三事件，讨论下列命题是否正确：

(1) 若A?C?B?C，则A?B； (2) 若A?C?B?C，则A?B；

(3) 若AC?BC，则A?B； (4) 若AB??且A B??，则A?B．

解 该题的结果反映了事件的运算与数的运算的不同之处．为说明命题(1),(2),(3)都不成立，只需分别举出反例；只有命题(4)正确．

由于A,B,C是二任意事件，若取A?B，C??（必然事件），则A?C?B?C??且

A?C?B?C??但A?B，从而命题(1)和(2)不成立．

设A?B，C??，则AC?BC??但A?B，从而命题(3)不成立．最后，设AB??且A B??，则由事件运算的对偶律，可见

AB?A?B????．

而由A?B??且AB??，可见A和B互为对立事件，即A?B，因此命题(4)正确．

1.6 证明，(1) 若A?B，则A?B；(2) 若A?B且A?B，则A?B

证 (1) 由于A?B表示“当A出现时B也随之出现”，可见“当B不出现时A也不出现”，即“当B出现时A也随之出现”——B?A．于是，命题“若A?B，则A?B”得证．

—习题解答●1.2—

(2) 根据条件A?B；此外，由条件A?B及本题之（1）的结论知A?B．这样，A?B与A?B同时成立，从而A?B．

1.7 设每个人生日在一年365天中的每一天都是等可能的．某幼儿园大班20个儿童，求 (1) 指定两个儿童的生日不在同一天——事件A的概率?； (2) 任何两个儿童生日都不在同一天——事件B的概率?； (3) 至少有两个儿童生日不在同一天——事件C的概率?．

解 (1) 考虑自365天的两次还原抽样（设想两个儿童各自在365天中“任意选一天”作为自己的生日），总共有N=3652种不同情形；为使“两人的生日不在同一天”，两名儿童“各选一天作为其生日”共有M?365?364种不同情形，因此

??P(A)?365?364364??1． 3653652(2) 考虑自365天的20次还原抽样（设想20个儿童各自在365天中“任意选一天”作为生日），总共有N=36520种不同情形，为使“任何两人的生日不在同一天”，20名儿童“各选一

20天作为其生日”共有M?P365种不同情形，因此

20P365M??P(B)???0.5886．

N26520(3) 考虑自365天的20次还原抽样，总共有36520种不同情形，其中导致事件C={20个儿童生日都在365天中的同一天}的有365种．于是

??P(C)?1?P(C)?1?3651?1??1． 36520365191.8 把一个表面涂有红颜色的正立方体分成1000个同样大小的小立方体，并且从中随意取出一个，试求取到的小立方体恰好有两个侧面上涂有红色的概率．

解 基本事件的总数为N =1000，事件A={取到的小立方体恰好两个侧面涂有红色}所含基本事件的个数为M=8×12=96：正立方体共有12条棱，每条棱恰好有8个两个侧面涂有红色小立方体，从而

P(A)?9612． ?10001251.9 自前n个正整数中随意取出两个数，求两个数之和是偶数的概率p．

解 这是一道古典型概率的题．引进事件A?{取出的两个数之和是偶数}．若n?2k为偶

2数，则自前n个正整数中随意取出两个数有C2“取n种不同取法，其中导致事件A的有2Ck种（到两个偶数”和“取到两个奇数”各C2，因此 k种）

2C2n?2． P(A)?2k?2(n?1)Cn若n?2k?1为奇数，则自前n个正整数中随意取出两个数有C2其中导致事件n种不同取法，

2“取到两个偶数”的C2“取到两个奇数”的C2，因此 A的有C2k种，k?1种）k?Ck?1种（

2C22k2n?1k?Ck?1． P(A)???n(n?1)2nC2n—习题解答●1.3—

于是，两个数之和是偶数的概率为

?n?2，若n为偶数，??2(n?1) p??? n?1 ，若n为奇数．??2n1.10 匣中有三张卡片，编号分别为1,2,3．现在随机地将三张卡片取出．试求下列事件的概率：A={每张卡片被取出的顺序与其编号一致}；B={至少一张卡片出现的顺序与其编号一致}．

解 基本事件的总数为N=3!=6，其中有利于事件A的只有一个，而有利于事件B的为2个．于是

122P(A)?； P(B)?1?P(B)?1??．

6631.11 假设n个人分配N?n?N?间住房，考虑两种不同的情形：(1) 每间最多可以容纳n个人；(2) 每间最多只能容纳一个人．试求下列事件的概率：A={每人各住一间}，B={指定的n间每间住一人}．

解 考虑自???1,2,?,N? 的n次随机抽样． (1) 每间可以容纳n个人，相当于n次还

n原抽样，总共有Nn种不同抽法，其中有利于事件A的有PN种不同抽法，有利于事件B的有

n!种不同抽法，因此

P(A)?N?N?1???N?n?1?n !，P(B)?；

NnNn(2) 每间最多可以容纳一个人，相当于n次非还原抽样，总共有CnN种不同抽法，其中有利于事件A的有CnN种不同抽法，有利于事件B的只有1种不同抽法，因此

P(A)?1，P(B)?1． CnN1.12 某线公共汽车线路共有11个停车站，从始发站开车时车上共有8名乘客，假设8名乘客在各站下车的概率相同（始发站除外）．试求下列事件的概率：A1?{8人都在不同的站下车}；A2?{8人都在同一站下车}；A3?{8人都在终点站下车}；A4?{8人中恰好有3人在终点站下车}．

解 8人在除始发站之外的10个站下车总共有N=108个等可能情形，其中有利于事件A18的M1?P10?1814400种；有利于事件A2的M2?C110?10种；有利于事件A3的只有M3=1种；有335利于事件A4的M4?C10 8人中恰有3人在终点站下车有C10种情形，而其余58?3932160种：

人在除始发站和终点站之外的8个站下车有85种情形．于是

8M1P10M10P(A1)??8?0.018144； P(A2)?2?8?0.0000001； N10N10 35MC81MP(A3)?3?8?0.00000001； P(A4)?4?108?0.0393216．N10N101.13 将一枚硬币重复掷n?2k?1次，试求正面出现的次数多于反面出现的次数的概率． 解 解法1 设A?{正面出现的次数多于反面}，则A?{正面出现的次数不多于反面}．由

—习题解答●1.4—