09年数学分析

已知函数f(x)?x?2?a(2?lnx),(a?0)，讨论f(x)的单调性 x[解析]：本小题主要考查函数的定义域、利用导数等知识研究函数的单调性，考查分类讨论的思想方法和运算求解的能力。

2ax2?ax?2. 解：f(x)的定义域是(0,+?),f?(x)?1?2??2xxx设g(x)?x2?ax?2,二次方程g(x)?0的判别式??a?8. ① 当??a?8?0，即0?a?22是增函数。

② 当??a?8?0,即a?22时，仅对x?此时f(x)在(0,??)上也是增函数。

w. 22时，对一切x?0都有f?(x)?0,此时f(x)在(0,??)上

22有f?(x)?0,对其余的x?0都有f?(x)?0,

③ 当??a?8?0，即a?22时，

2a?a2?8a?a2?8方程g(x)?0有两个不同的实根x1?,x2?,0?x1?x2.

22x f?(x) f(x) (0,x1) + 单调递增 x1 0 极大 (x1,x2) _ 单调递减 x2 0 极小 (x2,??) + 单调递增 a?a2?8a?a2?8a?a2?8此时f(x)在(0,)上单调递增,在(,)是上单调递减,在

222a?a2?8(,??)上单调递增。

24.3函数与方程的思想

今年的试卷中，更多地体现了函数与方程的思想，例如第（9）题，第（19）题，第（20）题，都是利用了函数和方程的思想。

2例5（9）已知函数f(x)在R上满足f(x)?2f(2?x)?x?8x?8，则曲线y?f(x)在点

(1,f(1))处的切线方程是

高考资源网（A）y?2x?1 （B）y?x （C）y?3x?2 （D）y??2x?3高考资源网[解析]：本小题主要考查抽象函数的知识和导数的几何意义，考查函数与方程的思想和抽象概括能力

由f(x)?2f(2?x)?x?8x?8得f(2?x)?2f(x)?(2?x)?8(2?x)?8， 即2f(x)?f(2?x)?x?4x?4，∴f(x)?x∴f(x)?2x，∴切线方程为

22/22y?1?2(x?1)，即2x?y?1?0选A

5

例6（19）略

[解析]：本小题除考查上述的思想和方法外，还考查函数与方程的思想，

2ax2?ax?22.因为先求出f?(x)?1?2??，设g(x)?x?ax?2， 2xxx得二次方程x?ax?2?0???

例7（20）（本小题满分13分）

2?x2y2点P(x0,y0)在椭圆2?2?1(a?b?0)上，x0?acos?,y0?bsin?,0???.直线l22ab与直线l1:x0y0x?y?1垂直，O为坐标原点，直线OP的倾斜角为?，直线l2的倾斜角为?. 22abw.w.w.ks.5.u.c.o.m x2y2（I）证明: 点P是椭圆2?2?1与直线l1的唯一交点；

ab（II）证明:tan?,tan?,tan?构成等比数列 [解析]：本小题也考查函数与方程的思想

x0y0x2y2b22解：（I）（方法一）由2x?2y?1得y?2(a?x0x),代入椭圆2?2?1,

ababay01b2x0222b2x0b2得(2?42)x?2x?(2?1)?0

aay0ay0y0?x0?acos?222将?代入上式,得x?2acos??x?acos??0,从而x?acos?. ?y0?bsin??x2y2??1??x?x0?a2b2因此,方程组?有唯一解?,即直线l1与椭圆有唯一交点P

y?y0??x0x?y0y?122?b?a4.4转化与化归思想 例8（9）略

2[解析]：做变换x?2?x，得f(2?x)?2f(x)?(2?x)?8(2?x)?8

?f(x)?2f(2?x)??x2?8x?8然后与已知联立，得方程组?，得f(x)即可求解 2f(2?x)?2f(x)??(2?x)?8(2?x)?8?例9（12）以直角坐标系的原点为极点，x轴的正半轴为极轴，并在两种坐标系中取相同的长

?x?1?2cos?度单位。已知直线的极坐标方程为??(??R)，它与曲线?（?为参数）相

4y?2?2sin???交于两点A和B，则|AB|=_______.

6

[解析]：只要化直线的极坐标方程为直角坐标方程y?x，曲线的参数方程为普通方程

(x?1)2?(y?2)2?4，易得|AB|?222?(4.5充分体现、挖掘考生的各项数学能力

|1?2|2)?14 1?1数学能力是指空间想象能力，抽象概括能力，推理论证能力，运算求解能力，数据处理能力，以及应用意识和创新意识，在2009年试题中，这些能力都得到了充分的体现。 4.5.1 运算求解能力：（1）（2）（3）（7）（8）（14）（16）（17）（19）（20）（21） 4.5.2 数据处理能力：（17）

4.5.3 空间想象能力：（10）（15）（18）

4.5.4 抽象概括能力：（5）（6）（7）（9）（12）（14）（19）（20）（21） 4.5.5 推理论证能力：（4）（18）（20）（21） 4.5.6 应用意识和创新意识：（17）（20） 5.体现宽口径，多角度的命题思路

2009年的试题中，体现命题者这样一种命题思路，即鼓励考试宽口径、多角度的思考和解决问题，不拘泥于某一解法，不局限考生的思想，每个命题尽可能让考生可以从不同角度入手，均能得到好的结果，避免思路单一，想到了就能做，想不到就失败的“华山一条道”的尴尬局面。

例如，第（18）题（综合法或向量法）,第(20)题第（I）问（答案上给出3种方法），第（21）题第（II）问（答案上给出2种方法）。

????????o例10（14）给定两个长度为1的平面向量OA和OB，它们的夹角为120，如图所示，点C

????????????在以O为圆心的圆弧AB上变动，若OC?xOA?yOB,其中x,y?R，则x?y的最大值是

________.

方法一：设?AOC??，则

1?????????????????????????cos??x?y??OC?OA?xOA?OA?yOB?OA,??2 ????????????????，即??????????1??cos(?OC?OB?xOA?OB?yOB?OB,1200?)???x?y??2∴x?y?2[cos??cos(120??)]?cos??3sin??2sin(??0?6)?2

方法二：|OC|?|xOA?yOB|?x2?y2?2xyOA?OB?1?x2?y2?xy?1

?(x?y)2?3xy?1?(x?y)2?1?3xy

因为xy?(x?y2x?y2)（当且仅当x?y时等号成立） )，所以(x?y)2?1?3(22所以x?y?2

7

四、对今后高三复习的启示

今年是我省进入新课改后的第一次高考，今年的高考命题为今后的课程改革和高考改革提供哪些重要的信息成为人们关注的焦点。高考命题的导向在很大程度上决定着中学推行新课改的力度和发展新课改的深度，及高三复习的方向。我认为应该做好以下几个方面

1.夯实基础，落实基本知识和基本技能的学习

从今年的试卷中不难看出，函数、数列、不等式、三角、立几、解几和概率统计仍然是考查的主要内容，从本文的知识点统计中更是一目了然。

试题的框架主体仍是考查数学的基础知识和通性通法。如函数的图象、单调性、定义域等性质及变换；数列的基本性质及应用；不等式的求解与证明；三角函数图象与性质；空间图形的识别及线面的位置关系（包括体积和夹角）；圆锥曲线的基本概念、性质及应用；几种常见类型的概率问题等。

所以今后的高三复习这些内容仍然是重中之重，只有夯实这些章节的基础知识，才能从容应对高考。

2.坚定新课程改革方向

随着新课程改革的不断深入，执行和推广新课标是大势所趋，所以新课标中新增加的教学内容会不断地出现在今后的高考试题中。特别是今年高考中未涉及到的几何概型、三视图、定积分、类比推理、独立性检验（2×2列联表）与回归分析中的基本概念和性质、统计中的散点图、茎叶图、回归直线方程等，我们在今后的高三复习中更应引起重视。

3.通法为主，变法为辅，培养能力

重视高中数学的通性通法，倡导举一反三、一题多解和多题一解，努力培养学生“五种能力、两个意识”，即空间想象能力、抽象概括能力、推理论证能力、运算求解能力、数据处理能力以及应用意识和创新意识。能力的分类和要求与以前有不同，必然要反映在命题中。特别应注意新增加的“数据处理能力”和“应用意识和创新意识”。前者与统计有关，后者与应用问题有关。另外，“推理论证能力”有别于先前四大能力之一的“逻辑思维能力”，逻辑思维能力注重是演绎推理，“合情推理”也应引起我们的重视，它可以有效地培养学生的创新意识，这正是新课改大力倡导的。

今年的试题中在“数据处理能力”方面体现得不是很明显，所以我们要加以重视。 4. 注意立体几何的命题动向

今年试题中立体几何题目学生普遍反映较难，特别是第（II）问用不上向量法，有“返祖”趋势，回归立体几何的核心——培养学生的空间想象能力和推理论证能力。所以教学中不能完全依赖向量工具，也要注重培养学生的空间想象能力和推理论证能力，也就是要适当加强学生用综合法解立体几何题的训练。

8

参考文献

1.教育部考试中心，《普通高等学校招生全国统一考试大纲（理科﹒课程标准实验﹒2009年版）》，高等教育出版社，2008.12

2.安徽省教育招生考试院、安徽省教育科学研究院，《2009年普通高等学校招生全国统一考试安徽卷考试说明（理科﹒课程标准实验版）》，黄山书社，2009.2

3.安徽省教育招生考试院，《2009年普通高等学校招生统一考试试题、参考答案》（安徽卷），2009.6

9