2017年江苏省常州市中考数学试卷（详细解析）

23．(2017常州，23，8分)如图，已知在四边形ABCD中，点E在AD上，∠BCE=∠ACD=90°，∠BAC=∠D，BC=CE.

(1)求证：AC=CD；

(2)若AC=AE，求∠DEC的度数.

思路分析：(1)证明△ABC≌△DEC；

(2)由∠EAC=45°通过等腰三角形的性质求解.

解：(1)证明：∵∠BCE=∠ACD=90°，∴∠ACB=∠DCE， 又∵∠BAC=∠D，BC=CE，∴△ABC≌△DEC，∴AC=CD. (2)∵∠ACD=90°，AC=CD，∴∠EAC=45°， ∵AE=AC∴∠AEC=∠ACE=

1×(180°-45°)=67.5°， 2∴∠DEC=180°-67.5°=112.5°.

24．(2017常州，24，8分)某校计划购买一批篮球和足球，已知购买2个篮球和1个足球共需320元，购买3个篮球和2个足球共需540元.

(1)求每个篮球和每个足球的售价；

(2)如果学校计划购买这两种共50个，总费用不超过5500元，那么最多可购买多少个足球？

思路分析：(1)根据等量关系列方程组求解； (2)根据不等关系列不等式求解.

解：(1)解设每个篮球售价x元，每个足球售价y元，根据题意得：

?2x?y?320?x?100，解得： ??3x?2y?540y?120??答：每个篮球售价100元，每个足球售价120元. (2)设学校最多可购买a个足球，根据题意得 100(50-a)+120a≤5500,解得：a≤25. 答：学校最多可购买25个足球.

25．(2017常州，25，8分)如图，已知一次函数y=kx+b的图像与x轴交于点A，与反比例函数y=

mx(x<0)的图像交于点B(-2,n)，过点B作BC⊥x轴于点C，点D(3-3n,1)是该反比例函数图像上一点.

m的值；

(2)若∠DBC=∠ABC，求一次函数y=kx+b的

表达式.

思路分析：(1)将点B、D坐标代入反比例函数解析式求解m的值；

(2)先求BD的解析式，再由线段垂直平分线的性质求得点A坐标，最后求AB的解析式. 解：(1)把B(-2,n),D(3-3n,1)代入反比例函数y=

m得, x??2n?m?m??6解得：，所以m的值为-6. ???n?3?3?3n?m(2)由(1)知B、D两点坐标分别为B(-2,3),D(-6,1)，

1?p???2p?q?3?设BD的解析式为y=px+q,所以?，解得?2

??6p?q?1??q?41所以一次函数的解析式为y=x+4,与x轴的交点为E(-8,0)

2延长BD交x轴于E，∵∠DBC=∠ABC，BC⊥AC，∴BC垂直平分AC， ∴CE=6, ∴点A(4,0),将A、B点坐标代入y=kx+b得

1???2k?b?31?k??，解得，所以一次函数的表达式为y=-x+2. 2??24k?b?0???b?226．(2017常州，26，10分)如图1,在四边形ABCD中，如果对角线AC和BD相交并且相等，那么我们把这样的四边形称为等角线四边形.

(1)①在“平行四边形、矩形、菱形”中，一定是等角线四边形(填写图形名称)； ②若M、N、P、Q分别是等角线四边形ABCD四边AB、BC、CD、DA的中点，当对角线AC、BD还需要满足时，四边形MNPQ是正方形；

⑵如图2,已知△ABC中，∠ABC=90°，AB=4,BC=3,D为平面内一点. ② 若四边形ABCD是等角线四边形，且AD=BD，则四边形ABCD的面积是；

②设点E是以C为圆心，1为半径的圆上的动点，若四边形ABED是等角线四边形，写出四边形ABED面积的最大值，并说明理由.

思路分析：(1)①矩形是对角线相等的四边形；

②四边形的中点四边形是平行四边形，等角线四边形的中点四边形是菱形，当对角线AC、BD互相垂直时四边形MNPQ是正方形； ⑵①根据题意画出图形，根据图形分析确定DF垂直平分AB，从而计算面积SABED=S△ABD+S△BCD； ②如图四边形ABED面积的最大值时点E在直线AC上，点D是以AE为斜边的等腰直角三角形的直角顶点，进而求得四边形ABED面积的最大值. 解：(1)①矩形；②AC⊥BD；

⑵①∵∠ABC=90°，AB=4,BC=3，∴BD=AC=5, 作DF⊥AB于F，∵AD=BD，∴DF垂直平分AB， ∴BF=2,由勾股定理得DF=21， 由题意知SABED=S△ABD+S△BCD=源:Zxxk.Com] 1111×AB×DF+×BC×BF=×4×21+×3×2=221+3；[来2222 ②如图3中,设AE与BD相交于点Q,连接CE,

作

于H,

于G.则

,

,

四边形ABED是等角线四边形,

,

,

即

当G、H重合时,即

,

,

时,等号成立,

,

即线段AE最大时,四边形ABED的面积最大,

, , ,