2019届高考数学二轮复习专题五解析几何名师

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1.5.3 圆锥曲线中的定点、定值、最值与范围问题

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1.已知抛物线G:y=2px(p>0),过焦点F的动直线l与抛物线交于A,B两点,线段AB的中点为M.

2

(1)当直线l的倾斜角为时,|AB|=16.求抛物线G的方程.

(2)对于(1)问中的抛物线G,是否存在x轴上一定点N,使得|AB|-2|MN|为定值?若存在,求出点N的坐标及定值;若不存在,说明理由.

【解析】(1)由题意知F,

设直线l的方程为x=ty+(t∈R),A,

B

22

2

,由

2

得:y-2pty-p=0,

22

Δ=4pt+4p>0,y1+y2=2pt,y1y2=-p,

|AB|==2p(t+1),

2

当直线l倾斜角为时,t=1,|AB|=4p=16,得p=4, 所以抛物线G的方程为y=8x.

(2)假设在x轴上存在点N(a,0)使得|AB|-2|MN|为定值.

2

由(1)知|AB|=8(t+1),

2

xM=(y1+y2)+2=4t+2,yM=4t,即M(4t+2,4t), 若满足题意,则2|MN| =2

=2(4t+k),

2

22

即

此时|AB|-2|MN|=6.

解得a=3,k=1,

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