高中数学必修4平面向量知识点总结与典型例题归纳复习总结

必修四第二章 平面向量复习总结

【基本概念与公式】 【任何时候写向量时都要带箭头】 1.向量：既有大小又有方向的量。记作：AB或a。 2.向量的模：向量的大小（或长度），记作：|AB|或|a|。 3.单位向量：长度为1的向量。若e是单位向量，则|e|?1。

4.零向量：长度为0的向量。记作：0。【0方向是任意的，且与任意向量平行】 5.平行向量（共线向量）：方向相同或相反的向量。 6.相等向量：长度和方向都相同的向量。

7.相反向量：长度相等，方向相反的向量。AB??BA。 8.三角形法则：

AB?BC?AC；AB?BC?CD?DE?AE；AB?AC?CB（指向被减数）

9.平行四边形法则：

以a,b为临边的平行四边形的两条对角线分别为a?b，a?b。

10.共线定理：a??b?a//b。当??0时，a与b同向；当??0时，a与b反向。 11.基底：任意不共线的两个向量称为一组基底。 12.向量的模：若a?(x,y)，则|a|?x2?y2，a?|a|2，|a?b|?(a?b)2 213.数量积与夹角公式：a?b?|a|?|b|cos?； cos??a?b

|a|?|b|14.平行与垂直：a//b?a??b?x1y2?x2y1；a?b?a?b?0?x1x2?y1y2?0 题型1.基本概念判断正误：

（1）共线向量就是在同一条直线上的向量。

（2）若两个向量不相等，则它们的终点不可能是同一点。

（3）与已知向量共线的单位向量是唯一的。 （4）四边形ABCD是平行四边形的条件是AB?CD。 （5）若AB?CD，则A、B、C、D四点构成平行四边形。

（6）若a与b共线， b与c共线，则a与c共线。 （7）若ma?mb，则a?b。 （8）若ma?na，则m?n。 （9）若a与b不共线，则a与b都不是零向量。 （10）若a?b?|a|?|b|，则a//b。 （11）若|a?b|?|a?b|，则a?b。 题型2.向量的加减运算

1.设a表示“向东走8km”, b表示“向北走6km”,则|a?b|? 。

1

2.化简(AB?MB)?(BO?BC)?OM? 。

3.已知|OA|?5,|OB|?3,则|AB|的最大值和最小值分别为 、 。

4.已知AC为AB与AD的和向量，且AC?a,BD?b，则AB? ，AD? 。 5.已知点C在线段AB上，且AC?题型3.向量的数乘运算

1.计算：2(2a?5b?3c)?3(?2a?3b?2c)? 2.已知a?(1,?4),b?(?3,8)，则3a?3AB,则AC? BC，AB? BC。 51b? 。 2题型4根据图形由已知向量求未知向量

1.已知在?ABC中，D是BC的中点，请用向量AB，AC表示AD。

2.在平行四边形ABCD中，已知AC?a,BD?b，求AB和AD。

题型5.向量的坐标运算

1.已知AB?(4,5)，A(2,3)，则点B的坐标是 。 2.已知PQ?(?3,?5)，P(3,7)，则点Q的坐标是 。

3.若物体受三个力F,2),F2?(?2,3),F3?(?1,?4),则合力的坐标为 。 1?(14.已知a?(?3,4)，b?(5,2)，求a?b，a?b，3a?2b。

5.已知A(1,2),B(3,2),向量a?(x?2,x?3y?2)与AB相等，求x,y的值。 6.已知AB?(2,3)，BC?(m,n)，CD?(?1,4)，则DA? 。 7.已知O是坐标原点，A(2,?1),B(?4,8)，且AB?3BC?0，求OC的坐标。

题型6.判断两个向量能否作为一组基底

1.已知e1,e2是平面内的一组基底，判断下列每组向量是否能构成一组基底： A.e1?e2和e1?e2 B.3e1?2e2和4e2?6e1 C.e1?3e2和e2?3e1 D.e2和e2?e1 2.已知a?(3,4)，能与a构成基底的是（ ）

2

A.(,) B.(,) C.(?,?) D.(?1,?) 题型7.结合三角函数求向量坐标

1.已知O是坐标原点，点A在第二象限，|OA|?2，?xOA?150，求OA的坐标。

2.已知O是原点，点A在第一象限，|OA|?43，?xOA?60，求OA的坐标。

题型8.求数量积

1.已知|a|?3,|b|?4，且a与b的夹角为60，求（1）a?b，（2）a?(a?b)， （3）(a?

2.已知a?(2,?6),b?(?8,10)，求（1）|a|,|b|，（2）a?b，（3）a?(2a?b)， （4）(2a?b)?(a?3b)。

题型9.求向量的夹角

1.已知|a|?8,|b|?3，a?b?12，求a与b的夹角。

2.已知a?(3,1),b?(?23,2)，求a与b的夹角。

3.已知A(1,0)，B(0,1)，C(2,5)，求cos?BAC。

题型10.求向量的模

1.已知|a|?3,|b|?4，且a与b的夹角为60，求（1）|a?b|，（2）|2a?3b|。

2.已知a?(2,?6),b?(?8,10)，求（1）|a|,|b|，（5）|a?b|，（6）|a?

3

345543553545431b)?b，（4）(2a?b)?(a?3b)。 21b|。 2

3.已知|a|?1，|b|?2，|3a?2b|?3，求|3a?b|。

题型11.求单位向量 【与a平行的单位向量：e??a】 |a|1.与a?(12,5)平行的单位向量是 2.与m?(?1,)平行的单位向量是 。 题型12.向量的平行与垂直

1.已知a?(1,2)，b?(?3,2)，（1）k为何值时，向量ka?b与a?3b垂直？（2）k为何值时向量ka?b与a?3b平行？

2.已知a是非零向量，a?b?a?c，且b?c，求证：a?(b?c)。

题型13.三点共线问题

1.已知A(0,?2)，B(2,2)，C(3,4)，求证：A,B,C三点共线。

2.设AB?

3.已知AB?a?2b,BC??5a?6b,CD?7a?2b，则一定共线的三点是 。 4.已知A(1,?3)，B(8,?1)，若点C(2a?1,a?2)在直线AB上，求a的值。

122(a?5b),BC??2a?8b,CD?3(a?b)，求证：A、B、D三点共线。 2OC成立？ 5.已知四个点的坐标O(0,0)，A(3,4)，B(?1,2)，C(1,1)，是否存在常数t，使OA?tOB?

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