2011年高考一轮数学复习 8-5圆锥曲线综合问题 理 同步练习（名师解析）

第8章 第5节 知能训练·提升

考点一：定点定值问题

1．在平面直角坐标系xOy中，直线l与抛物线y2＝4x相交于不同的A、B两点．

→→

(1)如果直线l过抛物线的焦点，求OA·OB的值；

→→

(2)如果OA·OB＝－4.证明直线l必过一定点，并求出该定点．

解：(1)由题意：抛物线焦点为(1,0)，设l：x＝ty＋1，代入抛物线方程y2＝4x，消去x，

→→

得y2－4ty－4＝0，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则y1＋y2＝4t，y1y2＝－4，OA·OB＝x1x2＋y1y2

2

＝(ty1＋1)(ty2＋1)＋y1y2＝ty1y2＋t(y1＋y2)＋1＋y1y2

＝－4t2＋4t2＋1－4＝－3.

(2)设l：x＝ty＋b，代入抛物线方程y2＝4x，消去x，

得y2－4ty－4b＝0，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则y1＋y2＝4t，y1y2＝－4b， →→∵OA·OB＝x1x2＋y1y2＝(ty1＋b)(ty2＋b)＋y1y2 2

＝ty1y2＋bt(y1＋y2)＋b2＋y1y2 ＝－4bt2＋4bt2＋b2－4b＝b2－4b.

令b2－4b＝－4，∴b2－4b＋4＝0，∴b＝2，∴直线l过定点(2,0)．

2．如图，中心在原点O的椭圆的右焦点为F(3,0)，右准线l的方程为：x＝12.

(1)求椭圆的方程；

1＋|FP1|

(2)在椭圆上任取三个不同点P1、P2、P3，使∠P1FP2＝∠P2FP3＝∠P3FP1，证明11＋为定值，并求此定值． |FP2||FP3|

x2y2

解：(1)设椭圆方程为2＋2＝1(a＞b＞0)．

ab

因焦点为F(3,0)，故半焦距c＝3，

a2a2

右准线l的方程为x＝，从而由已知＝12，得a2＝36，

cc

因此a＝6，b＝a2－c2＝27＝33. x2y2

故所求椭圆方程为＋＝1.

3627

2π

(2)证明：记椭圆的右顶点为A，并设∠AFPi＝αi(i＝1,2,3)，不失一般性，假设0≤α1＜，

3

2π4π

且α2＝α1＋，α3＝α1＋.33

c1

又设点Pi在l上的射影为Qi，因椭圆的离心率e＝＝，

a2

2a

从而有|FPi|＝|PiQi|·e＝(－c－|FPi|cosαi)e

c

1

＝(9－|FPi|cosαi)(i＝1,2,3)， 2

121解得＝(1＋cosαi)(i＝1,2,3)．

|FPi|92

111因此＋＋ |FP1||FP2||FP3|212π4π

＝[3＋(cosα1＋cos(α1＋)＋cos(α1＋))]， 9233

2π4π

而cosα1＋cos(α1＋)＋cos(α1＋)

33

1313

＝cosα1－cosα1－sinα1－cosα1＋sinα1＝0，

22221112故＋＋＝为定值． |FP1||FP2||FP3|3

x2y2

3．(2010·济南模拟)椭圆C：2＋2＝1(a＞b＞0)的左、右焦点分别为F1、F2，右顶点为

ab→→

A，P为椭圆C上任意一点，已知PF1·PF2的最大值为3，最小值为2.

(1)求椭圆C的方程；

(2)若直线l：y＝kx＋m与椭圆C相交于M、N两点(M，N不是左右顶点)，且以线段MN为直径的圆过点A，求证：直线l过定点，并求出该定点的坐标．

解：(1)∵P为椭圆上任意一点，

∴|PF1|＋|PF2|＝2a且a－c≤|PF1|≤a＋c，

→→→→令y＝PF1·PF2＝|PF1||PF2|cos∠F1PF2 1→→

＝(|PF1|2＋|PF2|2－4c2) 21→→

＝[|PF1|2＋(2a－|PF1|)2－4c2] 2

＝(|PF1|－a)2＋a2－2c2，

当|PF1|＝a时，y有最小值a2－2c2；

当|PF1|＝a－c或a＋c时，y有最大值a2－c2， ?a2－c2＝3?a2＝4??222

?∴?2.∴，b＝a－c＝3， 22

??a－2c＝2c＝1??

2

xy2

∴椭圆方程为＋＝1.

43

(2)证明：设M(x1，y1)，N(x2，y2)， 将y＝kx＋m代入椭圆方程得 (4k2＋3)x2＋8kmx＋4m2－12＝0，

－8km4m2－12

∴x1＋x2＝2，x1x2＝2，

4k＋34k＋3

∵y1＝kx1＋m，y2＝kx2＋m， y1y2＝k2x1x2＋km(x1＋x2)＋m2， 又以MN为直径的圆过点A(2,0)， →→∴AM·AN＝0，即x1x2－2(x1＋x2)＋4＋y1y2＝0，

2

∴7m＋16km＋4k2＝0，

2

∴m＝－k或m＝－2k，且满足Δ＞0，

7

若m＝－2k，直线l恒过定点(2,0)，不合题意舍去，

222

若m＝－k，直线l：y＝k(x－)恒过定点(，0)．

777

考点二：最值及范围问题

π

4．(2010·荆州调研)已知抛物线y2＝4x的顶点O，点A(5,0)，倾斜角为的直线l与线段

4

OA相交但不过O、A两点，且交抛物线于M、N两点，求△AMN面积最大时直线l的方程，并求△AMN的最大面积．

解：设直线l的方程为y＝x＋b，∵直线l与线段OA相交，∴－5＜b＜0.由方程组

??y＝x＋b?2消去y，得x2＋(2b－4)x＋b2＝0，∴Δ＝(2b－4)2－4b2＝16(1－b)＞0， ?y＝4x?

∴直线l与抛物线必有两个交点，设为M(x1，y1)，N(x2，y2)，则由弦长公式得：|MN|

|5＋b|b＋5

＝1＋1|x1－x2|＝216(1－b).点A到直线l的距离为d＝＝.∴△AMN的面积S

21＋1

1

＝|MN|·d＝21－b·(b＋5)．S2＝4(1－b)(b＋5)2＝4(－b3－9b2－15b＋25)．令y＝－x3－9x2

2

－15x＋25(－5＜x＜0)，则y′＝－3x2－18x－15.

当－5＜x＜－1时，y′＞0；当－1＜x＜0时，y′＜0，

∴当x＝－1，y有最大值．从而当b＝－1时，S2＝4(1－b)(b＋5)2有最大值128. ∴当b＝－1时，△AMN的面积S的最大值为82，此时直线的方程为y＝x－1.

→→

5．已知点G是△ABC的重心，A(0，－1)，B(0,1)，在x轴上有一点M，满足|MA|＝|MC→→

|，GM＝λAB(λ∈R)

(1)求点C的轨迹方程；

→→

(2)若斜率为k的直线l与点C的轨迹交于不同两点P、Q，且满足|AP|＝|AQ|，试求k的取值范围．

xy→→

解：(1)设C(x，y)，则G(，)．因为GM＝λAB(λ∈R)，所以GM∥AB.又M是x轴上一

33

xx2xx22→→222

点，则M(，0)．又|MA|＝|MC|，所以()＋(0＋1)＝(－x)＋y，整理得＋y＝1(x≠0)，

3333

此即为点C的轨迹方程．

→→

(2)①当k＝0时，l和椭圆C有两个不同交点P、Q，根据椭圆的对称性有|AP|＝|AQ|.

y＝kx＋m，??2

②当k≠0时，可设l的方程为y＝kx＋m，联立方程组?x消去y，整理得(12

＋y＝1，??3＋3k2)x2＋6kmx＋3(m2－1)＝0 ①.

因为直线l和椭圆C交于不同两点，所以Δ＝(6km)2－4(1＋3k2)·3(m2－1)＞0，即1＋3k2

6km

－m2＞0.②设P(x1，y1)，Q(x2，y2)，则x1，x2是方程①的两相异实根，所以x1＋x2＝－，

1＋3k23(m2－1)x1＋x23kmmx1x2＝，则PQ的中点N(x，y)的坐标是x＝＝－y0＝kx0＋m＝，22，000

21＋3k1＋3k1＋3k2m

＋11＋3k23kmm→→→→

即N(－，)．又|AP|＝|AQ|，所以AN⊥PQ，所以k·kAN＝k·＝－1，所以

3km1＋3k21＋3k2－

1＋3k21＋3k21＋3k21＋3k222m＝，将m＝代入②，得1＋3k－()＞0(k≠0)，即k2＜1，所以k∈(－

2221,0)∪(0,1)．综合①②得k的取值范围是(－1,1)．

x2y2

6．椭圆2＋2＝1(a＞b＞0)与直线x＋y－1＝0相交于两不同点P、Q且OP⊥OQ(O为

ab

原点)．

11

(1)求证：2＋2等于定值；

ab

32

(2)若椭圆离心率e∈[，]，求椭圆长轴的取值范围．

32

222222??bx＋ay＝ab

解：(1)由?

?x＋y－1＝0?

?(a2＋b2)x2－2a2x＋a2(1－b2)＝0①

∵有两个交点，∴Δ＞0， 即4a4－4(a2＋b2)a2(1－b2)＞0 ?b2(a2＋b2－1)＞0， ∴b≠0，a2＋b2＞1.

设P(x1，y1)，Q(x2，y2)， 则x1，x2是方程①的两实根，

a2(1－b2)2a2

x1＋x2＝22，x1x2＝22②

a＋ba＋b

由OP⊥OQ?x1x2＋y1y2＝0. ∵y1＝1－x1，y2＝1－x2 ?2x1x2－(x1＋x2)＋1＝0③

将②代入③化简得a2＋b2＝2a2b2④ 11

∴2＋2＝2(定值)． ab

(2)利用(1)的结论，将a表示为e的函数，

c

∵e＝?b2＝a2－a2e2，代入④得

a2

2－e＝2a2(1－e2)，

2－e2112

∴a＝. 2＝＋2(1－e)22(1－e2)

3253∵≤e≤，∴≤a2≤. 3242

56

∵a＞0，∴≤a≤.

22

所以长轴的取值范围是5≤2a≤6.

考点三：圆锥曲线综合问题 2

7．(1)设M(x0，y0)为抛物线y＝2x上的一个定点，过M作抛物线的两条互相垂直的弦MP，MQ.

求证：PQ恒过定点M′(x0＋2，－y0)；

(2)直线x＋my＋1＝0与抛物线y2＝2x交于点P，Q，在抛物线上是否存在点M，使得△MPQ为以PQ为斜边的直角三角形？

解：(1)设PQ的方程为x＝my＋n， 代入y2＝2x中，得y2－2my－2n＝0， ??y1＋y2＝2m∴?，其中y1，y2分别是P，Q的纵坐标． ?y1y2＝－2n?

∵MP⊥MQ，∴kMP·kMQ＝－1， y1－y0y2－y0即·＝－1. x1－x0x2－x0

222

y21－y0y2－y0

又∵·＝4，∴(y1＋y0)(y2＋y0)＝－4，

x1－x0x2－x0

y1·y2＋(y1＋y2)y0＋y20＋4＝0，

(－2n)＋2my0＋2x0＋4＝0，n＝my0＋x0＋2， 直线PQ的方程为x＝my＋my0＋x0＋2， 即x＝m(y＋y0)＋x0＋2，

它一定过定点M′(x0＋2，－y0)． (2)设M(x0，y0)为满足条件的点，

则由(1)知M′(x0＋2，－y0)在直线x＋my＋1＝0上，所以x0＋2－my0＋1＝0，

2??y＝2x

(x0，y0)是方程组?的解，

?x－my＋3＝0?

消去x得y2－2my＋6＝0，Δ＝4m2－24≥0，