毕业论文《几类常见的不可数集合证明》

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由不断地去掉一条线段的中间三分之一得出.著名的康托尔集是这样构成的：

1定义3.1 (1)设闭区间?0,1??R,将?0,1?三等分,并除去中间开区间I1=(,

32121).得两个闭区间F1.1=[0,],F1.2=[,1],区间长度为L1=. 333312(2)分别将闭区间F1.1,F1.2三等分,并出去中间两个开区间I2.1=(,),I2.2=

9978121278(,).得到四个闭区间F2.1=[0,]、F2.2=[,]、F2.3=[,]、F2.4=[,1],999933991区间长度为L2=2.

3(3)一般地,仿此继续下去,到第n次,除去了2n?1个开区间,得到2n个闭区间,Fn.1,Fn.2,?,Fn.2n,区间长度L??1.我们得到集合列Fn?Fn.1?Fn.2??3n02?).作集合C??Fn ?Fn.2n(n?1，n?1称集合C为Cantor(三分)集. 定理3.2 Cantor集合是不可数集.

证明 如果一个集合E与D1—1对应,则E是不可数的.其中D是由两个数字重复排列而得到的序列,如0.110001110?构成的集合D=｛0.b1b2?bn?|bi=0或1,i=1,2,?｝不可数.

我们对于?0,1?上的点,用三进位表示法来表示.构建Cantor集合时,每次都把区间?0,1?三等分,并且除去了中间的开区间,三进位表示方法为：

?0,1?上的点,每一次三等分后,依据它在三个区间的位置,对应位数依次记为

0,1,2,如下图所示：

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0 A B C 1

第一次三等分

0.0 0.1 0.2

第二次三等分 0.00 0.01 0.02 0.20 0.21 0.22 第三次三等分

0.000 0.001 0.002 0.020 0.021 0.022 0.200 0.201 0.202 0.220 0.221 0.222

??????????????????????????? 由上述图示可知,Cantor集合中的点三进位表示法中仅出现数字0和2,不含数字1,即?x?C(Cantor集合),则x可以表示为：

2，?) x?0.a1a2?an?，ai?0或2,(i?1，2，?)｝与D1—1对应. 得C?｛0.a1a2?an?，|ai?0或2,(i?1，所以, Cantor集合是不可数集. 3.3 可数集的幂集是一个不可数集合

证明 令N为全体正整数所成的集合.分别记N的所有子集,所有有限子集,所有无限子集所成的集族为A,A0和A?,则A=A0?A?,A0?A?为空集.

对于任意的B?A?,令??B???1,那么?是一个从A?到?0,1?上的一对一kk?B2的对应.故A??c.另一方面,可证A0?a.因此A?c,即2a?c.即可数集的幂集

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是不可数集.

4 总结与应用

本文对几类常见的不可数集合证明做出了总结和归纳.

其中在证明实数集是不可数集时用了很多种方法,并多次利用反证法证明,在用反证法证明的过程中,做了假设之后,经过推理出现了矛盾,应该的做法是：

① 如果推理完全正确,推翻假设是应该的.

② 如果推理本身有误,必先纠错而不是简单地推翻假设.

不可数集合在数学领域上有着重要的地位,其中康托尔集合在现代的物理科学的研究领域上,也有着它特殊的贡献.

参考文献：

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[5] 夏道行等.实变函数论与泛函分析[M].高等教育出版社,1985. [6] 江泽坚等. 实变函数论[M].人民教育出版社,1961.

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THE PROVE OF SEVERAL COMMON UNCOUNTABLE

COLLECTION

LI Yu-hui

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Abstract:This paper firstly introduces the background of realvariable funktion theory ,origin and the role in mathematic ,and by realvariable funktion raises its most basic denumerable set and uncountable collection .The main contents of this ,several common uncountable collection methods of proof.Text first given the definitions and theorems for collection ,several common uncountable collection ,and the number of several common methods of proof shall set ,one of the most common is not real number of four sets are proved .This makes us in understanding uncountable set meaning ,On the basis of the theorem ,skilled use them to solve the relevant proof of several sets ,And how to use various methods to demonstrate a set number for not set.

Key words: Countable collection; uncountable collection; Irrational collection; Real collection; Cantor's collection

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