排列与组合二（带答案）

排列与组合(二)

四、解定序问题——采用除法

对于某几个元素顺序一定的排列问题，可先把这几个元素与其它元素一同进行排列，然后用总排列数除以这几个元素的全排列数，这其实就是局部有序问题，利用除法来“消序”．

例1：由数字0、1、2、3、4、5组成没有重复数字的六位数，其中个位数小于十位数字的共有（ ）

A．210个 B．300个 C. 464个 D．600个 简析：若不考虑附加条件，组成的六位数共有 十位数字的

个，而其中个位数字与

种排法中只有一种符合条件，故符合条件的六位数共

＝300个，故选B．

例2：信号兵把红旗与白旗从上到下挂在旗杆上表示信号，现有3面红旗、2面白旗，把这5面旗都挂上去，可表示不同信号的种数是 ________． 分析：5面旗全排列有

种挂法，由于3面红旗与2面白旗的分别全排列

＝10(种)．

＝10．

均只能作一次的挂法，故共有不同的信号种数是

说明：此题也可以用组合来解，只需5个位置中确定3个，即

例3：有4个男生，3个女生，高矮互不相等，现将他们排成一行，要求从左到右，女生从矮到高排列，有多少种排法?

分析：先在7个位置上任取4个位置排男生，有

种排法，剩余的3个位

＝840种．

置排女生，因要求“从矮到高”，只有一种排法，故共有

在处理分堆问题时，有时几堆中元素个数相等，这时也要用除法，

例4：不同的钢笔12支，分3堆，一堆6支，另外两堆各3支，有多少种分法? 解：若3堆有序号，则有 别，故共有

/

·

，但考虑有两堆都是3支，无须区

＝9240种．

例5：把12支不同的钢笔分给3人，一人得6支，二人各得3，有几种分法? 解：先分堆：有

·

/

＝3

/

种．再将这三堆分配给三人，有 .种．

=3

.

种。共有

本题亦可用“选位，选项法”，即：

五、解“小团体”排列问题——采用先整体后局部策略

对于“小团体”排列问题，可先将“小团体”看作一个元素与其余元素排列，最后再进行“小团体”内部的排列．

例1：三名男歌唱家和两名女歌唱家联合举行一场音乐会，演出的出场顺序要求两名女歌唱家之间恰有一名男歌唱家，其出场方案共有( ) A．36种 B．18种 C．12种 D．6种

简析：按要求出场顺序必须有一个小团体“女男女”，因此先在三名男歌唱家中选一名(有

种选法)与两名女歌唱家组成一个团体，将这个小团体视为一

种排法。最后小团体内2名女歌唱家排＝36种出场方案，选A。

个元素，与其余2名男歌唱家排列有 列有

种排法，所以共有

六、解含有约束条件的排列组合问题一――采用合理分类与准确分步的策略 解含有约束条件的排列组合问题，应按元素的性质进行分类，按事件发生的连贯过程分步，做到分类标准明确、分步层次清楚，不重不漏．

例1：平面上4条平行直线与另外5条平行直线互相垂直，则它们构成的矩形共有________个．

简析：按构成矩形的过程可分为如下两步：第一步．先在4条平行线中任取两条，有

种取法；第二步再在5条平行线中任取两条，有

种取法．这样·

＝60

取出的四条直线构成一个矩形，据乘法原理，构成的矩形共有 个．

例2：在正方体的8个顶点，12条棱的中点，6个面的中心及正方体的中心共27个点中，共线的三点组的个数是多少?

解：依题意，共线的三点组可分为三类：两端点皆为顶点的共线三点组共有

＝28(个)；两端点皆为面的中心的共线三点组共有 ＝3(个)；两端点

皆为各棱中点的共线三点组共有 ＝18(个)． 所以总共有28+3+18＝49个．

例3：某种产品有4只次品和6只正品(每只产品均可区分)．每次取一只测试，直到4只次品全部测出为止．求第4只次品在第五次被发现的不同情形有多少种? 解：先考虑第五次测试的产品有4种情况，在前四次测试中包含其余的3只次品和1只正品，它们排列的方法数是6形有4×6

＝576种．

。依据乘法原理得所求的不同情

七、解排列组台混合问题——采用先选后排

对于排列与组合的混合问题，可采取先选出元素，后进行排列的策略． 例1：3名医生和6名护士被分配到3所学校为学生体检，每校分配1名医生和2名护土，不同的分配方法共有 ( )．

A．90种 B．180种 C．270种 D．540种

分析：(二)第一步：先将6名护士分配到3所不同学校，每所学校2名，则有

(种)分法． 第二步：再将3名医生分配到3所不同的学校，每所学

校1人，有种分法． 故共有 =540(种)故选(D)．

例2：4个不同小球放入编号为1、2、3、4的四个盒子，则恰有一个空盒的放法有_________种．

简析：这是一个排列与组合的混合问题．因恰有一个空盒，所以必有一个盒子要放2个球，故可分两步进行：第一步选，从4个球中任选2个球，有选法。从4个盒子中选出3个，有

种

种选法；第二步排列，把选出的2个球视

种

为一个元素，与其余的2个球共3个元素对选出的3个盒子作全排列，有 排法．所以满足条件的放法共有 八、正难则反、等价转化策略

=144种．

对某些排列组合问题，当从正面入手情况复杂，不易解决时，可考虑从反面入手，将其等价转化为一个较简单的问题来处理．即采用先求总的排列数(或组合数)，再减去不符合要求的排列数(或组合数)，从而使问题获得解决的方法．其实它就是补集思想．

例1：马路上有编号为1、2、3、?、9的9只路灯，为节约用电，现要求把其中的三只灯关掉，但不能同时关掉相邻的两只或三只，也不能关掉两端的路灯，则满足条件的关灯方法共有_______种．

简析：关掉一只灯的方法有7种，关第二只、第三只灯时要分类讨论，情况较为复杂，换一个角度，从反面入手考虑．因每一种关灯的方法唯一对应着一种满足题设条件的亮灯与暗灯的排列，于是问题转化为在6只亮灯中插入3只暗灯，且任何两只暗灯不相邻、且暗灯不在两端，即从6只亮灯所形成的5个间隙中选3个插入3只暗灯，其方法有

＝10种。故满足条件的关灯的方法共有10种．