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减得an?1?anq?p(an?qan?1)，即

an?1?qan?p，在转化为类型Ⅴ㈠便可求出an.

an?qan?1法三：递推公式为an?1?pan?qn（其中p，q均为常数）或an?1?pan?rqn（其中

p，q, r均为常数）时，要先在原递推公式两边同时除以qn?1，得：

an?1pan1??n?，n?1qqqq引入辅助数列?bn?（其中bn?anp1b?b?），得：再应用类型Ⅴ㈠的方法解决。 n?1nqqqn⑶当f(n)为任意数列时，可用通法：

在an?1?pan?f(n)两边同时除以pn?1可得到

an?1anf(n)an???bn，则，令n?1nn?1nppppbn?1?bn?f(n)n，在转化为类型Ⅲ（累加法），求出bn之后得an?pbn. n?1p

类型Ⅵ 对数变换法： q形如an?1?pa(p?0,an?0)型的递推式： q在原递推式an?1?pa两边取对数得lgan?1?qlgan?lgp，令bn?lgan得：

bn?1?qbn?lgp，化归为an?1?pan?q型，求出bn之后得an?10bn.（注意：底数不一

定要取10，可根据题意选择）。

类型Ⅶ 倒数变换法： 形如an?1?an?pan?1an（p为常数且p?0）的递推式：两边同除于an?1an，转化为

11??p形式，化归为an?1?pan?q型求出1的表达式，再求an； anan?1an还有形如an?1?man的递推式，也可采用取倒数方法转化成1?m1?m形式，化归

pan?qan?1qanp为an?1?pan?q型求出1的表达式，再求an.

an

类型Ⅷ 形如an?2?pan?1?qan型的递推式：

用待定系数法，化为特殊数列{an?an?1}的形式求解。方法为：设an?2?kan?1?h(an?1?kan)，比较系数得h?k?p,?hk?q，可解得h、k，于是

{an?1?kan}是公比为h的等比数列，这样就化归为an?1?pan?q型。

总之，求数列通项公式可根据数列特点采用以上不同方法求解，对不能转化为以上方法求解的数列，可用归纳、猜想、证明方法求出数列通项公式an.

5、非等差、等比数列前n项和公式的求法 ⑴错位相减法 ①若数列?an?为等差数列，数列?bn?为等比数列，则数列?an?bn?的求和就要采用此法. ②将数列?an?bn?的每一项分别乘以?bn?的公比，然后在错位相减，进而可得到数列

?an?bn?的前n项和.

此法是在推导等比数列的前n项和公式时所用的方法.

⑵裂项相消法 一般地，当数列的通项an?c (a,b1,b2,c为常数）时，往往可将

(an?b1)(an?b2)an变成两项的差，采用裂项相消法求和.

可用待定系数法进行裂项： 设an??an?b1??an?b2，通分整理后与原式相比较，根据对应项系数相等得

??c，从而可得

b2?b1cc11=(?).

(an?b1)(an?b2)(b2?b1)an?b1an?b2

常见的拆项公式有： ①

111??；

n(n?1)nn?1②

1111?(?);

(2n?1)(2n?1)22n?12n?111?(a?b);

a?ba?bm?1mm?Cn?1?Cn;

③④Cn⑤n?n!?(n?1)!?n!.

⑶分组法求和 有一类数列，既不是等差数列，也不是等比数列，若将这类数列适当拆开，可分为几个等差、等比或常见的数列，然后分别求和，再将其合并即可.一般分两步：①找通向项公式②由通项公式确定如何分组.

⑷倒序相加法 如果一个数列?an?，与首末两项等距的两项之和等于首末两项之和，则可用把正着写与倒着写的两个和式相加，就得到了一个常数列的和，这种求和方法称为倒序相加法。特征：a1?an?a2?an?1?... ⑸记住常见数列的前n项和： ①1?2?3?...?n?n(n?1); 22②1?3?5?...?(2n?1)?n; ③1?2?3?...?n?

22221n(n?1)(2n?1). 6