高考数学二轮复习专题 函数与导数第4讲与函数的零点相关的问题文

②若a>0,令f′(x)=0,得x=.

当x∈(0, )时,f′(x)>0,f(x)是增函数;

当x∈(,+∞)时,f′(x)<0,f(x)是减函数.

所以当x=时,f(x)有极大值,极大值为f()=ln -1=-ln a-1. 综上所述,当a≤0时,f(x)的递增区间为(0,+∞),无极值;

当a>0时,f(x)的递增区间为(0, ),递减区间为(,+∞), 极大值为-ln a-1. (2)证明:因为x1=

是函数f(x)的零点,

所以f()=0,即-a=0,解得a==.

所以f(x)=ln x-x.

因为f()=->0,f()=-<0,

所以f()f()<0. 由(1)知,函数f(x)在(2

,+∞)上单调递减,

所以函数f(x)在区间(,)上有唯一零点,因此x2>.

3.(2015郑州质量预测)已知函数f(x)=(x-2x)ln x+ax+2. (1)当a=-1时,求f(x)在点(1,f(1))处的切线方程;

-2

(2)当a>0时,设函数g(x)=f(x)-x-2,且函数g(x)有且仅有一个零点,若e

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解:(1)当a=-1时,f(x)=(x-2x)ln x-x+2,定义域为(0,+∞), f′(x)=(2x-2)ln x+(x-2)-2x.

所以f′(1)=-3,又f(1)=1,f(x)在(1,f(1))处的切线方程为3x+y-4=0.

2

2

(2)令g(x)=f(x)-x-2=0,则(x-2x)ln x+ax+2=x+2,即a=

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,

令h(x)=,

则h′(x)=--+=.

令t(x)=1-x-2ln x,t′(x)=-1-=,

因为t′(x)<0,所以t(x)在(0,+∞)上是减函数, 又因为t(1)=h′(1)=0,

所以当00,当x>1时,h′(x)<0,

所以h(x)在(0,1)上单调递增,在(1,+∞)上单调递减, 所以h(x)max=h(1)=1.

因为a>0,所以当函数g(x)有且仅有一个零点时,a=1.

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当a=1,g(x)=(x-2x)ln x+x-x,

-2

若e

g′(x)=(x-1)(3+2ln x),令g′(x)=0得x=1或x=又因为e

-2

,

所以函数g(x)在(e,

-2

)上单调递增,在(,1)上单调递减,在(1,e)上单调递增,

又g()=-e+2

-3

,g(e)=2e-3e,

2

因为g()=-e+2

2

-3

<2e<2e(e-)=g(e),即g()

2

所以m≥2e-3e.

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4.已知函数f(x)=x-ax,常数a∈R.

(1)若a=1,过点(1,0)作曲线y=f(x)的切线l,求l的方程;

(2)若曲线y=f(x)与直线y=x-1只有一个交点,求实数a的取值范围.

2

解:函数求导得f′(x)=3x-2ax.

2

(1)当a=1时有f′(x)=3x-2x,

设切点P为(x0,y0),则k=f′(x0)=3-2x0, 则P处的切线方程为y=(3-2x0)(x-x0)+-. 该直线经过点(1,0),所以有0=(3-2x0)(1-x0)+-, 化简得-2+x0=0,解得x0=0或x0=1,

所以切线方程为y=0和y=x-1.

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(2)法一 由题得方程x-ax-x+1=0只有一个根,

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设g(x)=x-ax-x+1,则g′(x)=3x-2ax-1,

2

因为Δ=4a+12>0,

所以g′(x)有两个零点x1,x2,即3-2axi-1=0(i=1,2),且x1x2<0,a=,

不妨设x1<0

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方程x-ax-x+1=0只有一个根等价于g(x1)>0且g(x2)>0,或g(x1)<0且g(x2)<0,

又g(xi)=-a-xi+1=--xi+1

=--+1(i=1,2),

设h(x)=-x-+1,

3

所以h′(x)=-x-<0,

所以h(x)为减函数,

又h(1)=0,所以x<1时h(x)>0,x>1时h(x)<0, 所以xi(i=1,2)大于1或小于1, 由x1<0

2

所以由二次函数g′(x)=3x-2ax-1性质可得g′(1)=3-2a-1>0,所以a<1. 法二 曲线y=f(x)与直线y=x-1只有一个交点,

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等价于关于x的方程ax=x-x+1只有一个实根.

2

显然x≠0,所以方程a=x-+只有一个实根.

设函数g(x)=x-+,

则g′(x)=1+

3

-=

2

.

设h(x)=x+x-2,h′(x)=3x+1>0,h(x)为增函数, 又h(1)=0.所以当x<0时,g′(x)>0,g(x)为增函数; 当01时,g′(x)>0,g(x)为增函数; 所以g(x)在x=1时取极小值1.

又当x趋向于0时,g(x)趋向于正无穷;

又当x趋向于负无穷时,g(x)趋向于负无穷; 又当x趋向于正无穷时,g(x)趋向于正无穷. 所以g(x)图象大致如图所示.

所以方程a=x-+

只有一个实根时,实数a的取值范围为(-∞,1).