高考数学二轮复习专题 函数与导数第4讲与函数的零点相关的问题文

第4讲 与函数的零点相关的问题

函数零点的个数问题

1.函数f(x)=xcos 2x在区间[0,2π]上的零点的个数为( D ) (A)2 (B)3 (C)4 (D)5

解析:要使f(x)=xcos 2x=0,则x=0,或cos 2x=0,而在区间[0,2π]上,通过观察y=cos 2x的

函数图象,易得满足cos 2x=0的x的值有,,,,所以零点的个数为5个.

2.(2015南昌二模)已知函数f(x)=

x

函数g(x)是周期为2的偶函数,且当x∈[0,1]

时,g(x)=2-1,则函数y=f(x)-g(x)的零点个数是( B ) (A)5 (B)6 (C)7 (D)8

解析:函数y=f(x)-g(x)的零点个数就是函数y=f(x)与y=g(x)图象的交点个数.在同一坐标系中画出这两个函数的图象:

由图可得这两个函数的交点为A,O,B,C,D,E,共6个点. 所以原函数共有6个零点.故选B.

3.(2015南昌市一模)已知函数f(x)=若关于x的方程f[f(x)]=0有且只有一个

实数解,则实数a的取值范围为 .

解析:依题意,得a≠0,令f(x)=0,得lg x=0,即x=1,由f[f(x)]=0,得f(x)=1,

当x>0时,函数y=lg x的图象与直线y=1有且只有一个交点,则当x≤0时,函数y=的图

象与直线y=1没有交点,若a>0,结论成立;若a<0,则函数y=-a<1,得-1

的图象与y轴交点的纵坐标

4.(2015北京卷)设函数f(x)=

①若a=1,则f(x)的最小值为 ;

②若f(x)恰有2个零点,则实数a的取值范围是 .

解析:①当a=1时,f(x)=其大致图象如图所示:

由图可知f(x)的最小值为-1.

②当a≤0时,显然函数f(x)无零点;

当0

有且只有一个零点,结合图象可知,2a≥1,即a≥,则≤a<1;当a≥1时,2a>1,由二次函数的性质可知,当x≥1时,f(x)有2个零点,则要使f(x)恰有2个零点,则需要f(x)在(-∞,1)

上无零点,则2-a≤0,即a≥2.综上可知,满足条件的a的取值范围是[,1)∪[2,+∞).

答案:①-1 ②[,1)∪[2,+∞)

确定函数零点所在的区间

5.(2015四川成都市一诊)方程ln(x+1)-=0(x>0)的根存在的大致区间是( B ) (A)(0,1) (B)(1,2) (C)(2,e) (D)(3,4)

解析:设f(x)=ln(x+1)-,

则f(1)=ln 2-2<0,f(2)=ln 3-1>0,

得f(1)f(2)<0,函数f(x)在区间(1,2)有零点,故选B.

x2

6.(2015河南郑州市一模)设函数f(x)=e+2x-4,g(x)=ln x+2x-5,若实数a,b分别是f(x),g(x)的零点,则( A )

(A)g(a)<0

x

解析:考查函数y=e与y=4-2x的图象,得其交点的横坐标a应满足0

2

与y=5-2x的图象,得其交点的横坐标b应满足1e+2-4>0,可排除C,D;0

利用导数解决与函数有关的方程根(函数零点)问题

7.(2015河南省六市3月第一次联合调研)设函数f(x)=xln x,g(x)=(-x+ax-3)e(a为实数). (1)当a=5时,求函数y=g(x)在x=1处的切线方程; (2)求f(x)在区间[t,t+2](t>0)上的最小值;

2x

(3)若存在两不等实根x1,x2∈[,e],使方程g(x)=2ef(x)成立,求实数a的取值范围. 解:(1)当a=5时g(x)=(-x+5x-3)·e,g(1)=e.

2x

g′(x)=(-x+3x+2)·e,故切线的斜率为g′(1)=4e. 所以切线方程为y-e=4e(x-1),即y=4ex-3e. (2)f′(x)=ln x+1, x f′(x) f(x) 2

x

x

(0, ) - 单调递减 0 极小值(最小值) (,+∞) + 单调递增 ①当t≥时,在区间(t,t+2)上f(x)为增函数, 所以f(x)min=f(t)=tln t,

②当0

f(x)min=f()=-.

(3)由g(x)=2ef(x),可得2xln x=-x+ax-3,

x

2

a=x+2ln x+,

令h(x)=x+2ln x+,h′(x)=1+-x h′(x) h(x)

=. 1 0 极小值(最小值) (1,e) + 单调递增 (,1) - 单调递减 h()=+3e-2,h(1)=4,h(e)=+e+2.

h(e)-h()=4-2e+<0.

所以实数a的取值范围为(4,e+2+].

8.(2015湖北八市联考)已知函数f(x)=ln(x+a)-x-x在x=0处取得极值. (1)求实数a的值;

2

(2)若关于x的方程f(x)=-x+b在区间[0,2]上恰有两个不同的实数根,求实数b的取值范围.

解:(1)f(x)=

′

-2x-1,

′

因为x=0时,f(x)取得极值,所以f(0)=0,

故-2×0-1=0,解得a=1,

经检验当a=1时,f(x)在x=0处取得极大值符合题意, 所以a=1.

2

(2)由a=1知f(x)=ln(x+1)-x-x,

由f(x)=-x+b,得ln(x+1)-x+x-b=0,

2

令φ(x)=ln(x+1)-x+x-b,则f(x)=-x+b在[0,2]上恰有两个不同的实数根等价于φ(x)=0在[0,2]上恰有两个不同的实数根.

2

φ′(x)=-2x+=,

当x∈(0,1)时,φ′(x)>0,于是φ(x)在(0,1)上单调递增; 当x∈(1,2)时,φ′(x)<0,于是φ(x)在(1,2)上单调递减;

依题意有

解得ln 3-1≤b

所以实数b的取值范围是[ln 3-1,ln 2+).