2020版新高考文科数学二轮培优中难提分突破三及答案解析（7页）

2020版新高考文科数学二轮培优中难提分突破三

1．绿水青山就是金山银山．某山村为做好水土保持，退耕还林，在本村的山坡上种植水果，并推出山村游等旅游项目．为预估今年7月份游客购买水果的情况，随机抽样统计了去年7月份100名游客的购买金额．分组如下：[0,20)，[20,40)，…，[100,120]，得到如图所示的频率分布直方图：

(1)请用抽样的数据估计今年7月份游客人均购买水果的金额(同一组中的数据用该组区间的中点值作代表)；

(2)若把去年7月份购买水果不低于80元的游客，称为“水果达人”．填写下面列联表，并根据列联表判断是否有95%的把握认为“水果达人”与性别有关系？

水果达 人 男 女 合计

10 人 30 非水果达合计 2

n?ad－bc?

参考公式和数据：K2＝，

?a＋b??c＋d??a＋c??b＋d?

n＝a＋b＋c＋d. 临界值表：

P(K2≥k0) 0.150 0.100 0.050 0.010 0.005 k0

解 (1)－x＝(10×0.005＋30×0.0075＋50×0.010＋70×0.0125＋90×0.010＋110×0.005)×20＝62.

估计今年7月份游客人均购买水果的金额为62元． (2)列联表如下：

水果达 人 男 女 合计

2

100×?10×30－20×40?K2＝≈4.762>3.841，

50×50×30×70

2.072 2.706 3.841 6.635 7.879 非水果达合计 人 40 30 70 50 50 100 10 20 30 因此有95%的把握认为“水果达人”与性别有关系． π??

2．已知函数f(x)＝2sinxsin?x＋3?.

??

(1)求函数f(x)的单调递增区间；

(2)锐角△ABC的角A，B，C所对的边分别是a，b，c，角A的平分线交BC于D，直线x＝A是函数f(x)图象的一条对称轴，AD＝2BD＝2，求边a.

π??

解 (1)∵f(x)＝2sinxsin?x＋3?，

??13

∴f(x)＝2sinxsinx·2＋2sinxcosx·2

1－cos2x3311＝＋sin2x＝sin2x－cos2x＋22222 π?1?

??2x－＝sin6?＋2. ?

πππ

令－2＋2kπ≤2x－6≤2＋2kπ，k∈Z，得 ππ

－6＋kπ≤x≤3＋kπ，k∈Z.

π?π?

即函数f(x)的单调递增区间为?－6＋kπ，3＋kπ?，k∈Z.

?

?

(2)∵x＝A是函数f(x)图象的一条对称轴， πππkπ

∴2A－6＝2＋kπ，k∈Z.∴A＝3＋2，k∈Z. π

又△ABC是锐角三角形，∴A＝3.

π

在△ABD中，∠BAD＝6，BD＝2，AD＝2， 222π

由正弦定理，得1＝sinB，∴sinB＝2.∴B＝4. 2ππ5πππ5π

∴C＝π－3－4＝12.∠CDA＝4＋6＝12. ∴AC＝AD＝2.在△ABC中，由正弦定理，

BC2得sin60°＝sin45°，∴BC＝a＝6.

3. 如图，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD为菱形，∠BAD＝60°，PA＝PD＝AD＝2，点M在线段PC上，且PM＝3MC，O，N，Q分别为BD，AD，PA的中点．

(1)求证：OQ∥平面PBC；

(2)若平面PAD⊥平面ABCD，求三棱锥P－NBM的体积． 解 (1)证明：如图，连接AC，

则AC与BD交于点O，易知OQ为△APC的中位线，

所以OQ∥PC，又OQ?平面PBC，PC?平面PBC，所以OQ∥平面PBC. (2)因为平面PAD⊥平面ABCD，平面PAD∩平面ABCD＝AD，PA＝PD， N为AD的中点，所以PN⊥AD，所以PN⊥平面ABCD，所以PN⊥NB. 又四边形ABCD为菱形，∠BAD＝60°，PA＝PD＝AD＝2，所以PN＝NB＝3，

13所以S△PNB＝2×3×3＝2，