高中数学精品讲义第七章第三节基本不等式Word版含答案

第三节基本不等式

1．基本不等式ab≤

a＋b

2

(1)基本不等式成立的条件：a＞0，b＞0. (2)等号成立的条件：当且仅当a＝b. 2．几个重要的不等式

ba

(1)a2＋b2≥2ab(a，b∈R)；(2)＋≥2(a，b同号)；

aba＋b?2a＋b?2a＋b

(3)ab≤?(a，b∈R)；(4)??2??2?≤2(a，b∈R)； a＋b2ab(5)≤ab≤≤

2a＋b

a2＋b2

(a＞0，b＞0)． 2

2

2

3．算术平均数与几何平均数

a＋b

设a＞0，b＞0，则a，b的算术平均数为，几何平均数为ab，基本不等式可叙述为：

2

- 1 -

两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数．

4．利用基本不等式求最值问题 已知x＞0，y＞0，则

(1)如果xy是定值p，那么当且仅当x＝y时，x＋y有最小值是2p(简记：积定和最小)． q2

(2)如果x＋y是定值q，那么当且仅当x＝y时，xy有最大值是4(简记：和定积最大)． 注：?1?此结论应用的前提是“一正”“二定”“三相等”.“一正”指正数，“二定”指求最值时和或积为定值，“三相等”指等号成立.

?2?连续使用基本不等式时，牢记等号要同时成立.

[小题查验基础]

一、判断题(对的打“√”，错的打“×”) (1)当a≥0，b≥0时，

a＋b

≥ab.( ) 2

a＋b

≥ab成立的条件是相同的．( ) 2

(2)两个不等式a2＋b2≥2ab与

xy

(3)x＞0且y＞0是y＋x≥2的充要条件．( ) (4)函数f(x)＝cos x＋

π4

0，?的最小值等于4.( ) ，x∈??2?cos x

答案：(1)√ (2)× (3)× (4)× 二、选填题

1．设x＞0，y＞0，且x＋y＝18，则xy的最大值为( ) A．80 C．81 答案：C

2．设0＜a＜b，则下列不等式中正确的是( ) A．a＜b＜ab＜C．a＜ab＜b＜

a＋b

2a＋b

2

B．a＜ab＜D.ab＜a＜

a＋b

＜b 2

B．77 D．82

a＋b

＜b 2

a＋bb－a

＝22

解析：选B 因为0＜a＜b，所以a－ab＝a(a－b)＜0，故a＜ab；b－＞0，故b＞

a＋ba＋ba＋b

；由基本不等式知＞ab，综上所述，a＜ab＜＜b，故选B. 222

1

3．函数f(x)＝x＋x的值域为( ) A．[－2,2]

C．(－∞，－2]∪[2，＋∞)

B．[2，＋∞) D．R

- 2 -

1

解析：选C 当x＞0时，x＋x≥2 当x＜0时，－x＞0. 1

－x＋≥2

－x1

所以x＋≤－2.

x

1

?－x?·＝2.

?－x?

1x·x＝2.

1

所以f(x)＝x＋x的值域为(－∞，－2]∪[2，＋∞)．

4．若实数x，y满足xy＝1，则x2＋2y2的最小值为________． 答案：22 5．若x＞1，则x＋解析：x＋

4

的最小值为________． x－1

44＝x－1＋＋1≥4＋1＝5. x－1x－1

4

，即x＝3时等号成立． x－1

当且仅当x－1＝答案：5

考点一 利用基本不等式求最值[全析考法过关] (一) 拼凑法——利用基本不等式求最值

[例1] (1)已知0＜x＜1，则x(4－3x)取得最大值时x的值为________． 51

(2)已知x＜，则f(x)＝4x－2＋的最大值为________．

44x－5x2＋2

(3)函数y＝(x＞1)的最小值为________．

x－1

11?3x＋?4－3x??242

[解析] (1)x(4－3x)＝·(3x)(4－3x)≤·＝，当且仅当3x＝4－3x，即x＝

33?32?3

- 3 -

2时，取等号．故所求x的值为.

3

5

(2)因为x＜，所以5－4x＞0，

4则f(x)＝4x－2＋＝1时，取等号．

故f(x)＝4x－2＋

1

的最大值为1. 4x－5

111

＝－?5－4x＋5－4x?＋3≤－2＋3＝1.当且仅当5－4x＝，即x

??4x－55－4x

x2＋2?x2－2x＋1?＋?2x－2?＋3

(3)y＝＝

x－1x－1?x－1?2＋2?x－1?＋3＝ x－1＝(x－1)＋

3

＋2≥23＋2. x－1

3

，即x＝3＋1时，取等号． x－1

当且仅当x－1＝

2

[答案] (1) (2)1 (3)23＋2

3[解题技法]

通过拼凑法利用基本不等式求最值的实质及关键点

拼凑法就是将相关代数式进行适当的变形，通过添项、拆项等方法凑成和为定值或积为定值的形式，然后利用基本不等式求解最值的方法．拼凑法的实质是代数式的灵活变形，拼系数、凑常数是关键．

(二) 常数代换法——利用基本不等式求最值

11

[例2] 已知a＞0，b＞0，a＋b＝1，则＋的最小值为________．

ab[解析] 因为a＋b＝1，

1111??b＋a?≥2＋2 ＋所以a＋b＝?(a＋b)＝2＋?ab??ab?号．

[答案] 4 [变式发散]

11

1．(变条件)将条件“a＋b＝1”改为“a＋2b＝3”，则a＋b的最小值为________． 12

解析：因为a＋2b＝3，所以a＋b＝1.

331111??12?所以a＋b＝??a＋b??3a＋3b?

ba1

·＝2＋2＝4.当且仅当a＝b＝时，取等ab2

- 4 -