（通用版）2016年高考数学二轮复习 专题六 三角函数与解三角形 第3讲 解三角形考题溯源教材变式 理

（通用版）2016年高考数学二轮复习 专题六 三角函数与解三角形

第3讲 解三角形考题溯源教材变式 理

真题示例 对应教材 题材评说 (经典考题)△ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c，(必修5 P18练习T3)在△ABC已知a＝bcos C＋csin B 对照变化，对应求答是高考试中，求证：a＝bcos C＋ccos B， 题求解的有效策略，体现类b＝ccos A＋acos C，c＝acos (1)求B； 比、猜想的基本数学思想. B＋bcos A. (2)若b＝2，求△ABC面积的最大值. [教材变式训练]

一、选择题

[变式1] (必修5 P4练习T1(1)改编)在△ABC中，A、B、C的对边分别为a、b、c，A＝45°，C＝30°，c＝1，则b等于( )

6－2A. B.6－2

2

6＋2

D．6＋2 2

解析：选C.B＝180°－45°－30°＝105°. C.

由正弦定理得＝，

sin Bsin C1

∴b＝×sin 105°

sin 30°

＝2sin (60°＋45°)

3212＝2(×＋×) 2222

6＋2

. 2

[变式2] (必修5 P10B组T2改编)在△ABC中，atan A＝btan B，则△ABC一定是( ) A．等腰三角形 B．正三角形 C．直角三角形 D．等腰直角三角形 解析：选A.由atan A＝btan B，得 asin Acos B＝bsin Bcos A. 由正弦定理和余弦定理得

a2＋c2－b22b2＋c2－a22

a·＝b·，

2ac2bc22

即(a－b)[(a＋b)＋c]＝0， ∴a－b＝0，即a＝b. [变式3] (必修5 P18T3①改编)在△ABC中，2acos A＋bcos C＋ccos B＝0，则角A为( ) ππA. B． 63＝

1

bc2π5π D． 36解析：选C.由余弦定理得

a2＋b2－c2a2＋c2－b2

2acos A＋b·＋c·＝0，

2ab2ac即2acos A＋a＝0，

1

∴cos A＝－.

2

2π

A＝.故选C.

3

[变式4] (必修5 P19T4改编)如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，∠C＝30°，D是BC上一点，且∠ADB＝45°.若AB＝4，则DC等于( )

C.

A．2 B．23 C．4(3－1) D．2(3－1) 解析：选C.由题意知， BC＝43，BD＝AB＝4.

∴DC＝43－4＝4(3－1)． [变式5] (必修5 P20T13①改编)△ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c，若a＝4，b＝3，c＝2，则中线AD的长为( )

A.5 B．10

510C. D． 22解析：选D.

如图，由余弦定理得

AB2＝DA2＋DB2－2DA·DBcos∠ADB， AC2＝DA2＋DC2－2DA·DCcos∠ADC， 两式相加得

AB2＋AC2＝2DA2＋DB2＋DC2，

22222

即2＋3＝2DA＋2＋2，

2

∴2DA＝5.

10

∴DA＝.

2

[变式6] (必修5 P25B组T3(1)改编)设l，l＋1，l＋2是钝角三角形的三边长，则l的取值范围是( )

A．0

解析：选B.∵l，l＋1，l＋2是钝角三角形的三边长， ∴l>0，且l＋21.

设最长边所对的角为C，由题意知，cos C<0，

2

l2＋（l＋1）2－（l＋2）2

即cos C＝<0，

2l（l＋1）

l2－2l－3∴<0， 2l（l＋1）2

即l－2l－3<0，－1

二、填空题

[变式7] (必修5 P15练习T1改编)如图，在山脚A测得山顶P的仰角为α，沿倾斜角为β的斜坡向上走a米到达B，在B测得山顶P的仰角为γ，则山高PQ＝________米．

解析：在△APB中，∠PAB＝α－β，∠APB＝γ－α， ∠ABP＝180°－(γ－β)， 由正弦定理得

sin ∠ABPsin ∠APBasin [180°－（γ－β）]asin （γ－β）∴AP＝＝ sin （γ－α）sin （γ－α）

asin αsin（γ－β）

∴PQ＝APsin α＝.

sin（γ－α）

asin αsin （γ－β）答案：

sin （γ－α）

[变式8] (必修5 P18练习T1(3)改编；P20B组T2(1)改编)△ABC的三边长为a＝5，b＝6，c＝7，则S△ABC＝________．

a2＋b2－c2

解析：法一：∵cos C＝

2ab222

5＋6－71＝＝， 2×5×65

262

∴sin C＝1－cos C＝，

51126

∴S△ABC＝absin C＝×5×6× 225＝66.

1

法二：p＝(5＋6＋7)＝9.

2

∴S△ABC＝9×（9－5）（9－6）（9－7） ＝66. 答案：66 三、解答题

[变式9] (必修5 P20A组T14改编)在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且c(asin B－bcos A)＝a2－b2，

(1)求B；

(2)求cos A＋cos C的范围；

(3)若b＝3，求△ABC面积的最大值．

22

解：(1)由c(asin B－bcos A)＝a－b

AP＝

AB 3