第四章 刚体的定轴转动

班级____________ 姓名______________ 学号_________________ 第4-1 刚体定轴转动(一) 一．填空题：

1．刚体转动惯量的物理意义是 表征刚才绕轴转动惯性的大小 ；决定刚体转动惯量的因素是 刚体的形状、大小、质量分布以及转轴的位置 。

2．一转速为每分钟150转,半径为0.2 m的飞轮,因受到制动而在2分钟内均匀减速至静

?2止。求:角加速度??/24rad?s，在此时间内飞轮所转动的圈数 150 。

3．如果一个刚体所受合外力为零，其合力矩是否也一定为零？ 不一定 如果刚体所受合外力矩为零，其合外力是否为零？ 不一定

L4．一摆结构如图，一长为L、质量为m的均质细金属棒和一半径为R、质

量为M的均质薄圆饼，求对过悬点O且垂直摆面的轴的转动惯量 。om1212mL?MR2?M?L?R?。 325．均匀细直棒，可绕通过其一端的光滑固定轴在竖直平面内转动，使棒从

RM水平位置自由下摆，棒是否作匀加速转动，并说明理由？不是匀加速转动，因为棒的力矩一直在变化，使得其角加速度一直在改变。

6．一长为L质量为m的均质细杆，两端附着质量分别为m1和m2的小球，且m1>m2 ，两小球直径d1 、d2都远小于L，此杆可绕通过中心并垂直于细杆的轴在竖直平面内转动，

1l则它对该轴的转动惯量为则它在开ml2?(m1?m2)，若将它由水平位置自静止释放，

124始时刻的角加速度为

26(m2?m1)g。

mL?3(m1?m2)L二．计算题：

7．一半径为R、质量为m的均匀圆盘平放在粗糙的水平面上。若它的初角速度为?0，绕其中心轴转动，⑴ 求圆盘所受的摩擦力矩； ⑵ 问经过多长时间圆盘才停止转动？（设摩擦系数为?）

解：（1）由dM?dF?r??dmg?r 得 dm?m2mrdr ?2πr?dr?22πRR2r2?mgrdr2m?gr2dr2M?dM???mgR dM? 得 ??0R2R23 （2）?M?Jd?212d? ??mgR?mR

dt32dtt03R3R?03Rd? ?dt???d? t? dt?

0?04?g4?g4?g8．一转动惯量为J的圆盘绕一固定轴转动；起初角速度为? 0，设它所受阻力矩与转动角速度成正比，即M= - k? (k为正的常数)，求圆盘的角速度从? 0变为? 0/2时所需的时间。

转动定律???J解：由M??k????d?dt

kd?分离变量?dt?J?t?02kd?积分:??dt??0?0J? k1J?dt?ln?t?ln2J2k

9．用落体观察法可以测定飞轮绕其中心轴的转动惯量J：将半径为R飞轮支承在O点 上，然后在绕过飞轮的绳子的一端挂一质量为m的重物，令重物以初速度为零下落，带动飞轮转动（如图所示）。记下重物下落的距离h和时间t，就可算出飞轮的转动惯量。试写出它的计算式。（假设轴承间无摩擦）

解 设绳子对飞轮的拉力为F

则飞轮所受的力矩M?FR 根据转动定律，

FR?J?……①

对重物作受力分析，根据牛顿第二定律得出： mg?F?ma……②

12at……③ 又∵重物匀加速下落，h?2

a??R……④

2 由①②③④联立解得：

?gt2? J?mR??2h?1??

??

第4－2 刚体定轴转动（二） 一．填空题：

1．一长为l，质量为M的均质棒可绕其一端点在竖直面上自由转动；当棒自然下垂时，一质量为m，速率为v的子弹水平射入距转轴为a的棒内，棒偏转角为30°，则子弹的初

g?2?3??Ml?2ma??Ml2?3ma26?速度为

ma。

2．人造卫星绕地球作椭圆轨道运动（地球在椭圆的一个焦点上），若不计其它星球对卫星的作用，则人造卫星的动量p及其对地球的角动量L是否守恒？结论及说明理由： 动量p不守恒，因为受万有引力的作用，冲量不为零，角动量L守恒，因为力矩为零 。 3．一质量为Ｍ、半径为R的均匀圆盘，通过其中心且与盘面垂直的水平轴以角速度ω转动。若在某时刻，一质量为m的小碎块从盘边缘裂开，且恰好沿竖直方向上抛，则它可

R2能达到的高度为?212g；破裂后圆盘的角动量为2MR2??mR2?。

4．如图，质量为m的小球，拴于不可伸长的轻绳上，在光 滑水平桌面上作匀速圆周运动，其半径为R，角速度为? ，绳的另一端通过光滑的竖直管用手拉住，如把绳向下拉R/2时角速m R 度? ′为4?，在此过程中，手对绳所作的功为

32mR2?2。 二．计算题：

F 5．质量为m1和m2的物体A，B分别悬挂在如图所示的组合轮两端。设两轮的半径分别 为R和r，两轮的转动惯量分别为J1和J2，轮与轴承间，绳索与轮间的摩擦力均略去不计，绳的质量也略去不计。试求两物体的加速度和绳的张力。 解：分别对两物体及组合轮进行受力分析 物体A: G1?T1??m1g?T1?m1a1……① 物体B: T2??G2?T2?m2g?m2a2……② 组合轮：

?T1R?T2r???J1?J2?a……③

角速度与线速度之间关系： a1?R?……④ a2?r?……⑤ 由上述五个方程联立解得：

a1R?m2r1?mJ?J?m22gR a2?m1R?m2r22gr 121R?m2rJ1?J2?m1R?m2r TJ1?J2?m2r2?m2rRJ1?J2?m1R2?m1Rr1?Jm2m1g T2?m2g1?J2?1R?m2r2J1?J22?m1R?m2r2 ６．如图，长为L质量为m的均匀细杆可绕水平轴O在竖直平面内转动，另有一质量也为m的小球用一轻绳栓住．不计一切摩擦，开始时使杆和绳均在水平位置，再让它们同时由静止释放，若在相同的时间内球与杆转过相同的角度，求：⑴绳的长度a； ⑵若撞后，球与杆一起转动，其角速度?为多大？ 解

aOL(1)设小球角速度为?1,棒角速度为?2,转到竖直位置时:小球mga?1/2ma2?1211?12?2棒mgl??ml??222?3?2由?1??2,得:a?l32????1?2ga??2?3gl

1(2)角动量守恒:ma?1?(1/3)ml?2?ma?mL3????3g/l72?22?7．有一质量为m1、长为l的均匀细棒，静止平放在滑动摩擦系数为?的水平桌面上，它可绕通过其端点O且与桌面垂直的固定光滑轴转动。另有一水平运动的质量为m2的小滑块，从侧面垂直于棒与棒的另一端A相碰撞，设碰撞时间极短。已知小滑块在碰撞前后的速度分别为v1和v2，如图所示。求碰撞后从细棒开始转动到停止转动的过程所需的时间。(已知棒绕O点的转动惯量J???1m1l2) 3 O 解：由于碰撞时间极短，故可以认为碰撞过程角动量守恒 J??lmv?lm?2122vm1 ,l ?v1 m2 ?v2 l2m?1?v? 2v?????? 滑动摩擦力的力矩：dM?r?dF

m 即：dM?rdF?r?gdm?r?g1dr，

llm11M?r?gdr??m1gl 可得：?0l2?????????J?2m2?v1?v2? 由?Mdt?J?2?J?1可得：t? ?M?m1gA 俯视图